与えられた二つの連立方程式を拡大係数行列を用いて解く。 (1) $x + y = 4$ $3x - 2y = 5$ (2) $9x + 9y - 8z = 3$ $12x + 11y - 13z = -5$ $60x + 63y - 46z = 48$

1. 問題の内容

与えられた二つの連立方程式を拡大係数行列を用いて解く。

(1)

$x + y = 4$

$3x - 2y = 5$

(2)

$9x + 9y - 8z = 3$

$12x + 11y - 13z = -5$

$60x + 63y - 46z = 48$

2. 解き方の手順

(1) の場合：

拡大係数行列を作成する。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -7 \end{bmatrix}$

2行目を-5で割る。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 7/5 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 13/5 \\ 0 & 1 & 7/5 \end{bmatrix}$

よって、$x = 13/5$、$y = 7/5$。

(2) の場合：

拡大係数行列を作成する。

$\begin{bmatrix} 9 & 9 & -8 & 3 \\ 12 & 11 & -13 & -5 \\ 60 & 63 & -46 & 48 \end{bmatrix}$

まず、1行目を3で割り、2行目を適当な数で割って、簡単な形にする。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -8/3 & 1 \\ 12 & 11 & -13 & -5 \\ 60 & 63 & -46 & 48 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引く。

3行目から1行目の20倍を引く。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -8/3 & 1 \\ 0 & -1 & -7/3 & -9 \\ 0 & 3 & -82/3 + 160/3 & 28 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -8/3 & 1 \\ 0 & -1 & -7/3 & -9 \\ 0 & 3 & 74/3 & 28 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の3倍を足す。

$\begin{bmatrix} 3 & 3 & -8/3 & 1 \\ 0 & -1 & -7/3 & -9 \\ 0 & 0 & 53/3 & 1 \end{bmatrix}$

よって、$53z/3 = 1$、$z = 3/53$。

$-y - 7z/3 = -9$、$y = 9 - 7z/3 = 9 - 7(3/53)/3 = 9 - 7/53 = (477 - 7)/53 = 470/53$。

$3x + 3y - 8z/3 = 1$、$3x = 1 - 3y + 8z/3 = 1 - 3(470/53) + 8(3/53)/3 = 1 - 1410/53 + 8/53 = (53 - 1410 + 8)/53 = -1349/53$。

$x = -1349/159$

3. 最終的な答え

(1) $x = 13/5$、 $y = 7/5$

(2) $x = -1349/159$、$y = 470/53$、$z = 3/53$