与えられた4つの3次方程式を解きます。 (1) $x^3 = 27$ (2) $x^3 = -125$ (3) $8x^3 - 1 = 0$ (4) $27x^3 + 8 = 0$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた4つの3次方程式を解きます。

(1) $x^3 = 27$

(2) $x^3 = -125$

(3) $8x^3 - 1 = 0$

(4) $27x^3 + 8 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 = 27$ は $x^3 - 27 = 0$ と変形できます。さらに、$27=3^3$ であるので、$x^3 - 3^3 = 0$ となります。

左辺は因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して、

$(x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ となります。

したがって、$x-3 = 0$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$ となります。

$x-3=0$ より、$x=3$

$x^2 + 3x + 9 = 0$ については、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求めます。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

したがって、$x = \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}$, $\frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$

(2)

$x^3 = -125$ は $x^3 + 125 = 0$ と変形できます。さらに、$125=5^3$ であるので、$x^3 + 5^3 = 0$ となります。

左辺は因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、

$(x+5)(x^2 - 5x + 25) = 0$ となります。

したがって、$x+5 = 0$ または $x^2 - 5x + 25 = 0$ となります。

$x+5=0$ より、$x=-5$

$x^2 - 5x + 25 = 0$ については、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求めます。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$

したがって、$x = \frac{5 + 5\sqrt{3}i}{2}$, $\frac{5 - 5\sqrt{3}i}{2}$

(3)

$8x^3 - 1 = 0$ は $8x^3 = 1$ と変形できます。したがって、$x^3 = \frac{1}{8}$ となり、$x^3 - \frac{1}{8} = 0$ となります。さらに$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$であるので、$x^3 - (\frac{1}{2})^3 = 0$となります。

左辺は因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して、

$(x-\frac{1}{2})(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}) = 0$ となります。

したがって、$x-\frac{1}{2} = 0$ または $x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = 0$ となります。

$x-\frac{1}{2}=0$ より、$x=\frac{1}{2}$

$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = 0$ については、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求めます。

$x = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 4(1)(\frac{1}{4})}}{2(1)} = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - 1}}{2} = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4}}}{2} = \frac{-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{4}$

したがって、$x = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{4}$, $\frac{-1 - \sqrt{3}i}{4}$

(4)

$27x^3 + 8 = 0$ は $27x^3 = -8$ と変形できます。したがって、$x^3 = -\frac{8}{27}$ となり、$x^3 + \frac{8}{27} = 0$ となります。さらに$\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$であるので、$x^3 + (\frac{2}{3})^3 = 0$となります。

左辺は因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、

$(x+\frac{2}{3})(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9}) = 0$ となります。

したがって、$x+\frac{2}{3} = 0$ または $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} = 0$ となります。

$x+\frac{2}{3}=0$ より、$x=-\frac{2}{3}$

$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} = 0$ については、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求めます。

$x = \frac{\frac{2}{3} \pm \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 - 4(1)(\frac{4}{9})}}{2(1)} = \frac{\frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{4}{9} - \frac{16}{9}}}{2} = \frac{\frac{2}{3} \pm \sqrt{-\frac{12}{9}}}{2} = \frac{\frac{2}{3} \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}i}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{3}$

したがって、$x = \frac{1 + \sqrt{3}i}{3}$, $\frac{1 - \sqrt{3}i}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3, \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x = -5, \frac{5 + 5\sqrt{3}i}{2}, \frac{5 - 5\sqrt{3}i}{2}$

(3) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + \sqrt{3}i}{4}, \frac{-1 - \sqrt{3}i}{4}$

(4) $x = -\frac{2}{3}, \frac{1 + \sqrt{3}i}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}i}{3}$