まず、与えられた3次方程式に整数解があるかどうかを調べます。 定数項 $-21$ の約数 $(\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21)$ を $x$ に代入し、$x^3 - 9x^2 + 25x - 21$ が $0$ になるものを探します。 $x = 1$ のとき、$1^3 - 9(1)^2 + 25(1) - 21 = 1 - 9 + 25 - 21 = -4 \neq 0$ $x = 3$ のとき、$3^3 - 9(3)^2 + 25(3) - 21 = 27 - 81 + 75 - 21 = 0$ したがって、$x = 3$ は与えられた3次方程式の解の一つです。

## 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 9x^2 + 25x - 21 = 0$ の解を求めます。

## 解き方の手順

1. **因数定理を利用した解の探索:**

まず、与えられた3次方程式に整数解があるかどうかを調べます。

定数項 $-21$ の約数 $(\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21)$ を $x$ に代入し、$x^3 - 9x^2 + 25x - 21$ が $0$ になるものを探します。

$x = 1$ のとき、$1^3 - 9(1)^2 + 25(1) - 21 = 1 - 9 + 25 - 21 = -4 \neq 0$

$x = 3$ のとき、$3^3 - 9(3)^2 + 25(3) - 21 = 27 - 81 + 75 - 21 = 0$

したがって、$x = 3$ は与えられた3次方程式の解の一つです。

2. **因数分解:**

$x = 3$ が解であることから、$x - 3$ は $x^3 - 9x^2 + 25x - 21$ の因数となります。そこで、多項式を $x - 3$ で割ります。

$\frac{x^3 - 9x^2 + 25x - 21}{x - 3} = x^2 - 6x + 7$

したがって、$x^3 - 9x^2 + 25x - 21 = (x - 3)(x^2 - 6x + 7)$ と因数分解できます。

3. **2次方程式の解:**

残りの解は、2次方程式 $x^2 - 6x + 7 = 0$ から求められます。

解の公式を使用します。$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。

この場合、$a = 1, b = -6, c = 7$ であるため、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$

## 最終的な答え

与えられた3次方程式の解は、$x = 3, 3 + \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2}$ です。