関数 $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \leq x \leq 3$) の最小値が -5 であるとき、$c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \leq x \leq 3$) の最小値が -5 であるとき、$c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 + 2x + c$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + c$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + c$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + c$

したがって、この関数の頂点の座標は $(1, 1+c)$ です。

この関数は $x=1$ を軸とする上に凸な放物線であり、$0 \leq x \leq 3$ の範囲における最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は区間 $0 \leq x \leq 3$ に含まれています。

そのため、定義域の端点である $x=0$ または $x=3$ で最小値を取る可能性があります。

$x=0$ のとき、$y = -0^2 + 2(0) + c = c$

$x=3$ のとき、$y = -3^2 + 2(3) + c = -9 + 6 + c = -3 + c$

頂点の$x$座標である$1$は、$0 \leq x \leq 3$の範囲に含まれているので、$x=0$と$x=3$で最小値をとりうる。

ここで、$x=0$のとき$y=c$、$x=3$のとき$y = -3+c$なので、$c > -3 +c$ である。よって$x=3$のとき最小値をとる。

したがって、$-3 + c = -5$ を解けばよい。

$c = -5 + 3$

$c = -2$

3. 最終的な答え

$c = -2$