問題は、2つのベクトルの外積に関する分配法則のどちらか一方を証明することです。 1つ目は $(a+b) \times c = a \times c + b \times c$ であり、2つ目は $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$ です。ここでは、2つ目の分配法則を証明します。

1. 問題の内容

問題は、2つのベクトルの外積に関する分配法則のどちらか一方を証明することです。

1つ目は $(a+b) \times c = a \times c + b \times c$ であり、2つ目は $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$ です。ここでは、2つ目の分配法則を証明します。

2. 解き方の手順

ベクトル $a$, $b$, $c$ をそれぞれ成分表示します。

$a = (a_1, a_2, a_3)$, $b = (b_1, b_2, b_3)$, $c = (c_1, c_2, c_3)$ とします。

まず、$b + c$ を計算します。

$b + c = (b_1 + c_1, b_2 + c_2, b_3 + c_3)$

次に、$a \times (b + c)$ を計算します。

$a \times (b + c) = (a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 + c_2), a_3(b_1 + c_1) - a_1(b_3 + c_3), a_1(b_2 + c_2) - a_2(b_1 + c_1))$

$a \times (b + c) = (a_2 b_3 + a_2 c_3 - a_3 b_2 - a_3 c_2, a_3 b_1 + a_3 c_1 - a_1 b_3 - a_1 c_3, a_1 b_2 + a_1 c_2 - a_2 b_1 - a_2 c_1)$

次に、$a \times b$ と $a \times c$ をそれぞれ計算します。

$a \times b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

$a \times c = (a_2 c_3 - a_3 c_2, a_3 c_1 - a_1 c_3, a_1 c_2 - a_2 c_1)$

最後に、$a \times b + a \times c$ を計算します。

$a \times b + a \times c = (a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_2 c_3 - a_3 c_2, a_3 b_1 - a_1 b_3 + a_3 c_1 - a_1 c_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_1 c_2 - a_2 c_1)$

$a \times b + a \times c = (a_2 b_3 + a_2 c_3 - a_3 b_2 - a_3 c_2, a_3 b_1 + a_3 c_1 - a_1 b_3 - a_1 c_3, a_1 b_2 + a_1 c_2 - a_2 b_1 - a_2 c_1)$

上記の計算結果から、$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

分配法則 $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$ が成り立つ。