電圧 $E$, 電流 $I$, 抵抗 $Z$ の関係が $E = IZ$ で与えられています。電流 $I = 3 + 2i$ 、抵抗 $Z = 2 - i$ の回路の電圧 $E$ を求めます。

## 問題7

1. 問題の内容

電圧 $E$, 電流 $I$, 抵抗 $Z$ の関係が $E = IZ$ で与えられています。電流 $I = 3 + 2i$ 、抵抗 $Z = 2 - i$ の回路の電圧 $E$ を求めます。

2. 解き方の手順

$E = IZ$ にそれぞれの値を代入します。

$E = (3 + 2i)(2 - i)$

複素数の積を計算します。

$E = 3(2) + 3(-i) + 2i(2) + 2i(-i)$

$E = 6 - 3i + 4i - 2i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$E = 6 + i - 2(-1)$

$E = 6 + i + 2$

$E = 8 + i$

3. 最終的な答え

$E = 8 + i$

## 問題8

1. 問題の内容

$\sqrt{2x+15} = x + 6$ を満たす $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

両辺を2乗します。

$(\sqrt{2x+15})^2 = (x+6)^2$

$2x + 15 = x^2 + 12x + 36$

右辺に全て移項します。

$0 = x^2 + 10x + 21$

因数分解します。

$0 = (x + 3)(x + 7)$

$x + 3 = 0$ または $x + 7 = 0$

$x = -3$ または $x = -7$

解の候補を元の式に代入して確認します。

$x = -3$ のとき、$\sqrt{2(-3) + 15} = \sqrt{9} = 3$ であり、$-3 + 6 = 3$ であるため、$x = -3$ は解です。

$x = -7$ のとき、$\sqrt{2(-7) + 15} = \sqrt{1} = 1$ であり、$-7 + 6 = -1$ であるため、$x = -7$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

$x = -3$

## 問題9

1. 問題の内容

$\sqrt{x-5} - \sqrt{x+6} = 2$ を満たす $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x-5} = \sqrt{x+6} + 2$

両辺を2乗します。

$(\sqrt{x-5})^2 = (\sqrt{x+6} + 2)^2$

$x - 5 = (x + 6) + 4\sqrt{x+6} + 4$

$x - 5 = x + 10 + 4\sqrt{x+6}$

$-15 = 4\sqrt{x+6}$

$-\frac{15}{4} = \sqrt{x+6}$

両辺を2乗します。

$\frac{225}{16} = x + 6$

$x = \frac{225}{16} - 6$

$x = \frac{225}{16} - \frac{96}{16}$

$x = \frac{129}{16}$

求めた $x$ を元の式に代入して確認します。

$\sqrt{\frac{129}{16} - 5} - \sqrt{\frac{129}{16} + 6} = \sqrt{\frac{129}{16} - \frac{80}{16}} - \sqrt{\frac{129}{16} + \frac{96}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} - \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{7}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{8}{4} = -2$

しかし、元の式は $\sqrt{x-5} - \sqrt{x+6} = 2$ なので、$\frac{129}{16}$ は解ではありません。また、$4\sqrt{x+6} = -15$ という式が出てきていますが、根号の中身は正でなければならないので、左辺は正の数でなければならないのに対し、右辺は負の数なので、この式を満たす $x$ は存在しません。

したがって、与えられた式を満たす $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

解なし

## 問題10

1. 問題の内容

$\sqrt{4x-1} = 2 - 2x$ を満たす $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

両辺を2乗します。

$(\sqrt{4x-1})^2 = (2 - 2x)^2$

$4x - 1 = 4 - 8x + 4x^2$

右辺に全て移項します。

$0 = 4x^2 - 12x + 5$

因数分解します。

$0 = (2x - 1)(2x - 5)$

$2x - 1 = 0$ または $2x - 5 = 0$

$2x = 1$ または $2x = 5$

$x = \frac{1}{2}$ または $x = \frac{5}{2}$

解の候補を元の式に代入して確認します。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$\sqrt{4(\frac{1}{2}) - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$ であり、$2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$ であるため、$x = \frac{1}{2}$ は解です。

$x = \frac{5}{2}$ のとき、$\sqrt{4(\frac{5}{2}) - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$ であり、$2 - 2(\frac{5}{2}) = 2 - 5 = -3$ であるため、$x = \frac{5}{2}$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$