(1) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めます。 (2) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めます。

(2) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式を考えます。二項定理より、

$(x^2 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (x^2)^{5-k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{10-2k} (-2)^k x^k = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (-2)^k x^{10-k}$

$x^7$ の項を探すには、$10-k = 7$ となる $k$ を見つけます。このとき $k=3$ です。

したがって、$x^7$ の項の係数は $\binom{5}{3} (-2)^3 = \frac{5!}{3!2!} (-8) = \frac{5 \times 4}{2} (-8) = 10(-8) = -80$ です。

(2) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式を考えます。二項定理より、

$(3x^2 + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x^2)^k (1)^{5-k} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 3^k x^{2k}$

$x^6$ の項を探すには、$2k = 6$ となる $k$ を見つけます。このとき $k=3$ です。

したがって、$x^6$ の項の係数は $\binom{5}{3} 3^3 = \frac{5!}{3!2!} (27) = \frac{5 \times 4}{2} (27) = 10(27) = 270$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-80$

(2) $270$