与えられた連立方程式を解く問題です。連立方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 5x - 4y + 6z = 8 \\ 7x - 6y + 10z = 14 \\ 4x + 9y + 7z = 74 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。連立方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

5x - 4y + 6z = 8 \\

7x - 6y + 10z = 14 \\

4x + 9y + 7z = 74

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式の1番目の式を10倍、2番目の式を6倍、3番目の式を-4倍して、$z$ の係数を揃え、消去します。

$$

\begin{cases}

50x - 40y + 60z = 80 \\

42x - 36y + 60z = 84 \\

-16x - 36y - 28z = -296

\end{cases}

$$

次に、1番目の式から2番目の式を引くことで、$z$ を消去します。

$$

(50x - 40y + 60z) - (42x - 36y + 60z) = 80 - 84 \\

8x - 4y = -4

$$

この式を4で割ると：

$$

2x - y = -1 \qquad (4)

$$

また、1番目の式と3番目の式から$z$を消去するために、1番目の式を7倍、3番目の式を-6倍して$z$の係数を揃え消去します。

$$

\begin{cases}

35x - 28y + 42z = 56 \\

-24x - 54y - 42z = -444 \\

\end{cases}

$$

2つの式を足すと

$$

11x - 82y = -388 \qquad (5)

$$

式(4)から$y = 2x + 1$である。これを式(5)に代入すると

$$

11x - 82(2x + 1) = -388 \\

11x - 164x - 82 = -388 \\

-153x = -306 \\

x = 2

$$

$x = 2$を式(4)に代入すると

$$

2(2) - y = -1 \\

4 - y = -1 \\

y = 5

$$

$x=2$, $y=5$を1番目の式に代入すると

$$

5(2) - 4(5) + 6z = 8 \\

10 - 20 + 6z = 8 \\

-10 + 6z = 8 \\

6z = 18 \\

z = 3

$$

3. 最終的な答え

$x = 2$, $y = 5$, $z = 3$