関数 $y = -2x^2 + 4x + 5$ について、$x=1$ で最大値をとる。定義域の右端で最小値をとるように、定義域を一つ定める。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 4x + 5$ について、$x=1$ で最大値をとる。定義域の右端で最小値をとるように、定義域を一つ定める。

2. 解き方の手順

与えられた関数は2次関数であり、$x^2$ の係数が負なので上に凸な放物線である。

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -2x^2 + 4x + 5 = -2(x^2 - 2x) + 5 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = -2((x-1)^2 - 1) + 5 = -2(x-1)^2 + 2 + 5 = -2(x-1)^2 + 7$

したがって、頂点は $(1, 7)$ であり、軸は $x = 1$ である。

問題文より、$x=1$ で最大値をとる。

また、定義域の右端で最小値をとるように定義域を定める。

この2次関数は、$x=1$ を軸として左右対称であるため、軸から遠いほど $y$ の値は小さくなる。

定義域を $a \le x \le b$ とすると、$x=b$ で最小値をとることから、$a$ は $1$ より小さくなければならない。

$a$ が $1$ より小さいとき、$x=b$ で最小値を取るためには、$1$ から $a$ までの距離が、$1$ から $b$ までの距離以下であればよい。

$a=0$ のとき、$0 \le x \le 2$ とすると、$x=2$ で最小値をとる。

このとき、$y = -2(2-1)^2 + 7 = -2(1) + 7 = 5$

$a=-1$ のとき、$-1 \le x \le 3$ とすると、$x=3$ で最小値をとる。

このとき、$y = -2(3-1)^2 + 7 = -2(4) + 7 = -8 + 7 = -1$

ここで、定義域の左端を $x=0$ とする。

定義域を $0 \le x \le b$ とすると、$x=b$ で最小値をとる必要がある。

$x=0$ のとき、$y = -2(0-1)^2 + 7 = -2(1) + 7 = 5$

$y=5$ となる $x$ を求める。

$-2(x-1)^2 + 7 = 5$

$-2(x-1)^2 = -2$

$(x-1)^2 = 1$

$x-1 = \pm 1$

$x = 1 \pm 1$

$x = 2, 0$

したがって、$0 \le x \le 2$ とすると、$x=2$ で最小値をとる。

よって、定義域の一つとして $0 \le x \le 2$ が考えられる。

3. 最終的な答え

$0 \le x \le 2$