連立方程式 $\begin{cases} 3x+2y = 3 \\ ax - 2y = -2 \end{cases}$ の解 $x$ と $y$ の値を入れ替えると、連立方程式 $\begin{cases} bx-y = 10 \\ 4x+3y = 9 \end{cases}$ の解になる。$a$ と $b$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

3x+2y = 3 \\

ax - 2y = -2

\end{cases}$

の解 $x$ と $y$ の値を入れ替えると、連立方程式

$\begin{cases}

bx-y = 10 \\

4x+3y = 9

\end{cases}$

の解になる。$a$ と $b$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式

$\begin{cases}

3x+2y = 3 \\

ax - 2y = -2

\end{cases}$

の解を求めます。

1つ目の式と2つ目の式を足すと、

$(3+a)x = 1$

よって、$x = \frac{1}{3+a}$

1つ目の式から $2y = 3 - 3x$ なので、$y = \frac{3 - 3x}{2} = \frac{3 - \frac{3}{3+a}}{2} = \frac{\frac{9+3a-3}{3+a}}{2} = \frac{6+3a}{2(3+a)} = \frac{3(2+a)}{2(3+a)}$

次に、$x$ と $y$ を入れ替えた値を連立方程式

$\begin{cases}

bx-y = 10 \\

4x+3y = 9

\end{cases}$

に代入します。

$x = \frac{3(2+a)}{2(3+a)}$, $y = \frac{1}{3+a}$ なので、

$\begin{cases}

b \frac{3(2+a)}{2(3+a)} - \frac{1}{3+a} = 10 \\

4 \frac{3(2+a)}{2(3+a)} + 3 \frac{1}{3+a} = 9

\end{cases}$

$\begin{cases}

\frac{3b(2+a) - 2}{2(3+a)} = 10 \\

\frac{12(2+a) + 6}{2(3+a)} = 9

\end{cases}$

$\begin{cases}

3b(2+a) - 2 = 20(3+a) \\

12(2+a) + 6 = 18(3+a)

\end{cases}$

2つ目の式から

$24+12a+6 = 54+18a$

$30+12a = 54+18a$

$-24 = 6a$

$a = -4$

1つ目の式に $a=-4$ を代入すると、

$3b(2-4) - 2 = 20(3-4)$

$-6b - 2 = -20$

$-6b = -18$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -4, b = 3$