与えられた不等式は $\frac{1}{4^x} \geq \frac{3}{2^x} - 2$ です。これを満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式は $\frac{1}{4^x} \geq \frac{3}{2^x} - 2$ です。これを満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = t$ とおきます。すると、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ となるので、不等式は次のようになります。

$\frac{1}{t^2} \geq \frac{3}{t} - 2$

両辺に $t^2$ を掛けて整理します。（$t^2$は常に正なので、不等号の向きは変わりません。）

$1 \geq 3t - 2t^2$

$2t^2 - 3t + 1 \geq 0$

左辺を因数分解します。

$(2t - 1)(t - 1) \geq 0$

この不等式を満たす $t$ の範囲は、

$t \leq \frac{1}{2}$ または $t \geq 1$

ここで、$t = 2^x$ でしたので、$2^x \leq \frac{1}{2}$ または $2^x \geq 1$ となります。

$2^x \leq \frac{1}{2} = 2^{-1}$ より、$x \leq -1$

$2^x \geq 1 = 2^0$ より、$x \geq 0$

3. 最終的な答え

$x \leq -1$ または $x \geq 0$