和 $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を求める。ただし、問題5で与えられた恒等式を利用して良い。

## 問題6

1. 問題の内容

和 $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を求める。ただし、問題5で与えられた恒等式を利用して良い。

2. 解き方の手順

まず、$k(k+1)(k+2)$ を展開する。

$k(k+1)(k+2) = k(k^2 + 3k + 2) = k^3 + 3k^2 + 2k$

次に、この式を用いて和を計算する。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、問題5の恒等式 $k^4 - (k-1)^4 = 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1$ を利用することを考える。

この式を $k=1$ から $k=n$ まで足し合わせると、左辺はtelescoping sumとなり、

$\sum_{k=1}^{n} (k^4 - (k-1)^4) = n^4 - 0^4 = n^4$

右辺は、

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 - 6k^2 + 4k - 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 - 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

したがって、

$n^4 = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 - 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k - n$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ であり、問題５より $\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{1}{2}n(n+1))^2$ であることを利用する。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

また $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ である。

上記の和を代入する。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n(n+1) + 2(2n+1) + 4] = \frac{n(n+1)}{4}[n^2 + n + 4n + 2 + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n^2 + 5n + 6] = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$