加法定理を用いて、$\tan 105^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\tan 105^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$105^\circ$ を $45^\circ$ と $60^\circ$ の和として表します。

$105^\circ = 45^\circ + 60^\circ$

次に、$\tan$ の加法定理を使用します。$\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

ここで、$A = 45^\circ$、$B = 60^\circ$ とすると、

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

したがって、

$\tan 105^\circ = \tan (45^\circ + 60^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 60^\circ} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$