与えられた条件を満たす一次関数 $f(x) = ax + b$ の係数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。与えられた条件は以下の4つです。 (1) $f(1) = -2$, $f(3) = 4$ (2) $f(2) = 2$, $f(-4) = 14$ (3) $f(-3) = -\frac{1}{4}$, $f(-1) = \frac{5}{4}$ (4) $f(-2) = -\frac{5}{2}$, $f(-3) = -2$

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす一次関数 $f(x) = ax + b$ の係数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。与えられた条件は以下の4つです。

(1) $f(1) = -2$, $f(3) = 4$

(2) $f(2) = 2$, $f(-4) = 14$

(3) $f(-3) = -\frac{1}{4}$, $f(-1) = \frac{5}{4}$

(4) $f(-2) = -\frac{5}{2}$, $f(-3) = -2$

2. 解き方の手順

各条件に対して、連立方程式を立てて、$a$ と $b$ の値を求めます。

(1)

$f(1) = a(1) + b = a + b = -2$

$f(3) = a(3) + b = 3a + b = 4$

この連立方程式を解きます。第二式から第一式を引くと、

$2a = 6$ よって $a = 3$

$a + b = -2$ に $a = 3$ を代入すると、

$3 + b = -2$ よって $b = -5$

(2)

$f(2) = a(2) + b = 2a + b = 2$

$f(-4) = a(-4) + b = -4a + b = 14$

この連立方程式を解きます。第二式から第一式を引くと、

$-6a = 12$ よって $a = -2$

$2a + b = 2$ に $a = -2$ を代入すると、

$-4 + b = 2$ よって $b = 6$

(3)

$f(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -\frac{1}{4}$

$f(-1) = a(-1) + b = -a + b = \frac{5}{4}$

この連立方程式を解きます。第二式から第一式を引くと、

$2a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ よって $a = \frac{3}{4}$

$-a + b = \frac{5}{4}$ に $a = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$-\frac{3}{4} + b = \frac{5}{4}$ よって $b = \frac{8}{4} = 2$

(4)

$f(-2) = a(-2) + b = -2a + b = -\frac{5}{2}$

$f(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -2$

この連立方程式を解きます。第二式から第一式を引くと、

$-a = -2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ よって $a = -\frac{1}{2}$

$-2a + b = -\frac{5}{2}$ に $a = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$1 + b = -\frac{5}{2}$ よって $b = -\frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = -5$

(2) $a = -2$, $b = 6$

(3) $a = \frac{3}{4}$, $b = 2$

(4) $a = -\frac{1}{2}$, $b = -\frac{7}{2}$