関数 $y = x^2 - 2ax$ (定義域: $0 \le x \le 3$) の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。また、この関数の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax$ (定義域: $0 \le x \le 3$) の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。また、この関数の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = x^2 - 2ax$ を平方完成します。

$y = (x - a)^2 - a^2$

これは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。

(1) 最小値を求める。

定義域 $0 \le x \le 3$ と軸 $x = a$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 0^2 - 2a(0) = 0$

このとき $x = 0$

(ii) $0 \le a \le 3$ のとき

頂点 $x = a$ が定義域に含まれるので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = a^2 - 2a(a) = -a^2$

このとき $x = a$

(iii) $a > 3$ のとき

定義域内で関数は単調減少なので、$x = 3$ で最小値をとります。

最小値は $y = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

このとき $x = 3$

(2) 最大値を求める。

定義域 $0 \le x \le 3$ と軸 $x = a$ の位置関係によって場合分けを行います。

放物線の軸からの距離が遠い方の端点で最大値をとります。

(i) $a \le \frac{3}{2}$ のとき

$x = 3$ で最大値をとります。

最大値は $y = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

このとき $x = 3$

(ii) $a > \frac{3}{2}$ のとき

$x = 0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 2a(0) = 0$

このとき $x = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、最小値 $0$ ($x = 0$)

$0 \le a \le 3$ のとき、最小値 $-a^2$ ($x = a$)

$a > 3$ のとき、最小値 $9 - 6a$ ($x = 3$)

(2) 最大値

$a \le \frac{3}{2}$ のとき、最大値 $9 - 6a$ ($x = 3$)

$a > \frac{3}{2}$ のとき、最大値 $0$ ($x = 0$)