行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ を簡約化する基本行列 $P_1, P_2, \dots, P_l$ を求め、それらの積 $P_l \dots P_2 P_1$ を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ を簡約化する基本行列 $P_1, P_2, \dots, P_l$ を求め、それらの積 $P_l \dots P_2 P_1$ を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を簡約化するために、基本行列を使って行基本変形を行う。

まず、$A$ に行基本変形を施し、単位行列に変形する。

そして、その変形に対応する基本行列を左から順番にかけることで、最終的に求めるべき行列の積を得る。

ステップ1: 1行目と2行目を入れ替える。

$A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ2: 2行目から1行目の2倍を引く。

$A'' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ3: 3行目から1行目の2倍を引く。

$A''' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ4: 2行目を -1/5 倍する。

$A'''' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1/5 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ5: 3行目に2行目を足す。

$A''''' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1/5 \\ 0 & 0 & 1/5 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ6: 3行目を5倍する。

$A'''''' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1/5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_6 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ である。

ステップ7: 1行目から3行目を引く。

$A''''''' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1/5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_7 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ8: 2行目から3行目の1/5倍を引く。

$A'''''''' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_8 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

ステップ9: 1行目から2行目の3倍を引く。

$A''''''''' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この操作に対応する基本行列は $P_9 = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。

求める行列は $P_9 P_8 P_7 P_6 P_5 P_4 P_3 P_2 P_1$ である。

$P_9 P_8 P_7 P_6 P_5 P_4 P_3 P_2 P_1 = \begin{pmatrix} -3/5 & -3/5 & 2/5 \\ -1/5 & -2/5 & 1/5 \\ 2/5 & 8/5 & -7/5 \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

$P_9 P_8 P_7 P_6 P_5 P_4 P_3 P_2 P_1 = \begin{pmatrix} -3/5 & -3/5 & 2/5 \\ -1/5 & -2/5 & 1/5 \\ 2/5 & 8/5 & -7/5 \end{pmatrix}$