2つの2次不等式 $2x^2+x-3>0$ と $x^2-(a+2)x+2a<0$ が与えられています。 (1) 不等式 $x^2-(a+2)x+2a<0$ を解く。 (2) 2つの不等式を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2つだけ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの2次不等式 $2x^2+x-3>0$ と $x^2-(a+2)x+2a<0$ が与えられています。

(1) 不等式 $x^2-(a+2)x+2a<0$ を解く。

(2) 2つの不等式を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2つだけ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2-(a+2)x+2a<0$ を解きます。

$x^2-(a+2)x+2a<0$ は $(x-a)(x-2)<0$ と因数分解できます。

$a<2$ のとき、$a < x < 2$

$a=2$ のとき、解なし

$a>2$ のとき、$2 < x < a$

(2)

まず、不等式 $2x^2+x-3>0$ を解きます。

$2x^2+x-3>0$ は $(2x+3)(x-1)>0$ と因数分解できます。

よって、$x < -\frac{3}{2}$ または $x > 1$ となります。

$a<2$ のとき、$a < x < 2$ と $x < -\frac{3}{2}$ または $x > 1$ を同時に満たす整数 $x$ が2つだけ存在するように $a$ の範囲を定めます。

$a < x < -\frac{3}{2}$ に整数は存在しないため、$1<x<2$ の範囲を考える必要があります。この範囲に整数は存在しないため、不適です。

$a>2$ のとき、$2 < x < a$ と $x < -\frac{3}{2}$ または $x > 1$ を同時に満たす整数 $x$ が2つだけ存在するように $a$ の範囲を定めます。

$2 < x < a$ と $x > 1$ より、$2 < x < a$ です。この範囲に整数が2つだけ存在するのは $x = 3, 4$ の場合です。したがって、$4 < a \le 5$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $a<2$ のとき、$a < x < 2$

　 $a=2$ のとき、解なし

　 $a>2$ のとき、$2 < x < a$

(2) $4 < a \le 5$