2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となるような $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となるような $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ であることから、この不等式を満たすのは $x=-\frac{1}{2}$ と $x=3$ の時のみであり、つまり、2次方程式 $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ の解が $x = -\frac{1}{2}$ と $x = 3$ である。

また、解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となることから、2次関数のグラフは上に凸である必要があり、したがって、$a < 0$ である。

解と係数の関係より、

$-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} = -\frac{2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

$(-\frac{1}{2}) \times 3 = -\frac{3}{2} = \frac{1}{2a}$

$-\frac{3}{2} = \frac{1}{2a}$ より、

$2a = -\frac{2}{3}$

$a = -\frac{1}{3}$

$a$ の値を $\frac{5}{2} = -\frac{b}{a}$ に代入すると、

$\frac{5}{2} = -\frac{b}{-\frac{1}{3}} = 3b$

$3b = \frac{5}{2}$

$b = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{3}$, $b = \frac{5}{6}$