$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。また、この関数の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。また、この関数の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = 2x^2 - 2x$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - x) = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

したがって、この関数は $x = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $-\frac{1}{2}$ をとる下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le a$ です。

(1) 最小値について

$x = \frac{1}{2}$ は $0 \le x \le a$ に含まれるので、最小値は $x = \frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{1}{2}$ です。

(2) 最大値について

$a$ の値によって最大値をとる $x$ の値が変わります。

$x = \frac{1}{2}$ を軸とする放物線なので、区間の端点 $x = 0$ または $x = a$ で最大値をとります。

(i) $0 < a < 1$ のとき

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = a$ のとき $y = 2a^2 - 2a = 2a(a-1) < 0$

よって、最大値は $x = 0$ のとき $y = 0$ です。

(ii) $a = 1$ のとき

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 1$ のとき $y = 2(1)^2 - 2(1) = 0$

よって、最大値は $x = 0, 1$ のとき $y = 0$ です。

(iii) $a > 1$ のとき

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = a$ のとき $y = 2a^2 - 2a = 2a(a-1) > 0$

よって、最大値は $x = a$ のとき $y = 2a^2 - 2a$ です。

まとめると、

- $0 < a < 1$ のとき、最大値は $x=0$ で $y=0$

- $a=1$ のとき、最大値は $x=0,1$ で $y=0$

- $a>1$ のとき、最大値は $x=a$ で $y=2a^2-2a$

3. 最終的な答え

最小値は $x = \frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{1}{2}$

最大値は、

$0 < a < 1$ のとき、$x = 0$ で $y = 0$

$a=1$ のとき、$x = 0, 1$ で $y = 0$

$a > 1$ のとき、$x = a$ で $y = 2a^2 - 2a$