正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $(n-1)$ 群までの項数の合計に1を加えた奇数である。

第 $(n-1)$ 群までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数列の第 $\frac{(n-1)n}{2}+1$ 項である。

奇数列の一般項は $2k-1$ であるから、第 $n$ 群の最初の数は、

$2 \left( \frac{(n-1)n}{2} + 1 \right) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

となる。これは $n \geq 2$ で成り立つ。

$n=1$ のとき、$n^2-n+1=1$ となり、第1群の最初の数と一致する。

(2) 第15群に入るすべての数の和を求める。

第15群の最初の数は、(1)より、 $15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$ である。

第15群には15個の数が入るので、第15群の最後の数は、奇数列の第

$\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$

項である。したがって、第15群の最後の数は $2 \times 120 - 1 = 240 - 1 = 239$ である。

第15群は等差数列であるから、その和は、

$S = \frac{15(211 + 239)}{2} = \frac{15 \times 450}{2} = 15 \times 225 = 3375$

となる。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数：$n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$: 3375