関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ について、区間 $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とする。 (1) $g$ を $m$ を用いて表せ。 (2) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ について、区間 $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とする。

(1) $g$ を $m$ を用いて表せ。

(2) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ を平方完成する。

$f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

軸は $x = -\frac{3}{2}$ である。

区間 $m \le x \le m+2$ における最小値 $g$ は、軸の位置によって場合分けして考える。

(i) $m+2 < -\frac{3}{2}$ すなわち $m < -\frac{7}{2}$ のとき

区間内で $f(x)$ は単調減少なので、$x=m+2$ で最小となる。

$g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$

(ii) $m \le -\frac{3}{2} \le m+2$ すなわち $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき

$x=-\frac{3}{2}$ で最小となる。

$g = f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + m = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + m = -\frac{9}{4} + m$

(iii) $m > -\frac{3}{2}$ のとき

区間内で $f(x)$ は単調増加なので、$x=m$ で最小となる。

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

(2) $g$ を $m$ の関数として捉え、$g$ の最小値を求める。

(i) $m < -\frac{7}{2}$ のとき $g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6$

$m < -\frac{7}{2}$ における最小値は、 $m=-4$ のとき $g=-6$ となり、$m < -\frac{7}{2}$を満たさないので、$m=-\frac{7}{2}$ の時に最も小さくなる。

$g = (-\frac{7}{2})^2 + 8(-\frac{7}{2}) + 10 = \frac{49}{4} - 28 + 10 = \frac{49}{4} - 18 = \frac{49 - 72}{4} = -\frac{23}{4}$

(ii) $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき $g = -\frac{9}{4} + m$

$m=-\frac{7}{2}$の時$g = -\frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{23}{4}$

$m=-\frac{3}{2}$の時$g = -\frac{9}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{15}{4}$

$-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$における最小値は、$m = -\frac{7}{2}$ のとき $g = -\frac{23}{4}$

(iii) $m > -\frac{3}{2}$ のとき $g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$

$m > -\frac{3}{2}$ における最小値は、$m=-\frac{3}{2}$ の時に最も小さくなる。

$g = (-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 6 = \frac{9 - 24}{4} = -\frac{15}{4}$

$-2$は範囲に含まれないため、範囲内の値としては $-\frac{3}{2}$に近づくほど小さくなる。

したがって、$g$ の最小値は $-\frac{23}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$m < -\frac{7}{2}$ のとき $g = m^2 + 8m + 10$

$-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき $g = -\frac{9}{4} + m$

$m > -\frac{3}{2}$ のとき $g = m^2 + 4m$

(2)

$-\frac{23}{4}$