(1) 関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7であるとき、定数 $c$ の値を求める。 (2) 関数 $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が-5であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値が7であるとき、定数 $c$ の値を求める。

(2) 関数 $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が-5であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) + c = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = 2(x+1)^2 - 2 + c$

軸は $x = -1$ であり、定義域 $-2 \le x \le 1$ に含まれる。

$x = -1$ のとき、最小値 $y = -2 + c$ をとる。

定義域の端点を調べる。

$x = -2$ のとき、 $y = 2(-2)^2 + 4(-2) + c = 8 - 8 + c = c$

$x = 1$ のとき、 $y = 2(1)^2 + 4(1) + c = 2 + 4 + c = 6 + c$

したがって、最大値は $6 + c$ である。

最大値が7であるから、$6 + c = 7$ より、$c = 1$

(2)

まず、関数 $y = -x^2 + 2x + c$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x) + c = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + c = -(x-1)^2 + 1 + c$

軸は $x = 1$ であり、定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれる。

$x = 1$ のとき、最大値 $y = 1 + c$ をとる。

定義域の端点を調べる。

$x = 0$ のとき、 $y = -0^2 + 2(0) + c = c$

$x = 3$ のとき、 $y = -3^2 + 2(3) + c = -9 + 6 + c = -3 + c$

$x=3$のとき最小値を取る。

最小値が-5であるから、 $-3 + c = -5$ より、$c = -2$

3. 最終的な答え

(1) $c = 1$

(2) $c = -2$