多項式 $P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$ と $Q(x) = x^2 - 2px + p+6$ が与えられています。ここで、$p$ と $q$ は実数の定数です。 (1) $P(1)$ を $p$ と $q$ を用いて表します。 (2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求めます。また、$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$q$ を $p$ を用いて表します。 (3) $P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるとします。$P(x) - Q(x)$ を因数分解します。さらに、方程式 $P(x) - Q(x) = 0$ のすべての解が実数であるとし、この解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とします。$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$ と $Q(x) = x^2 - 2px + p+6$ が与えられています。ここで、$p$ と $q$ は実数の定数です。

(1) $P(1)$ を $p$ と $q$ を用いて表します。

(2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求めます。また、$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$q$ を $p$ を用いて表します。

(3) $P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるとします。$P(x) - Q(x)$ を因数分解します。さらに、方程式 $P(x) - Q(x) = 0$ のすべての解が実数であるとし、この解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とします。$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 - (2p+1)1^2 + 3(p+2)1 + q = 1 - (2p+1) + 3(p+2) + q = 1 - 2p - 1 + 3p + 6 + q = p + q + 6$

(2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割ります。

$P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$

$Q(x) = x^2 - 2px + p+6$

筆算を行うと、

$P(x) = (x - 1)Q(x) + (-p^2 -7p-6 + q +p+6)$

$P(x) = (x - 1)Q(x) + (-p^2 -6p + q)$

$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、余りが0である必要があります。つまり、

$-p^2 - 6p + q = 0$

$q = p^2 + 6p$

(3) $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるので、$P(x) = (x-1)Q(x)$ です。

$P(x) - Q(x) = (x-1)Q(x) - Q(x) = (x-2)Q(x) = (x-2)(x^2 - 2px + p+6)$

$P(x) - Q(x) = 0$ の解がすべて実数であるためには、2次方程式 $x^2 - 2px + p+6 = 0$ の判別式が0以上である必要があります。

$D = (-2p)^2 - 4(p+6) = 4p^2 - 4p - 24 = 4(p^2 - p - 6) = 4(p-3)(p+2) \ge 0$

よって、$p \le -2$ または $p \ge 3$ です。

$x^2 - 2px + p+6 = 0$ の解を $\beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より、$\beta + \gamma = 2p$, $\beta\gamma = p+6$ です。

$\alpha = 2$ とすると、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 4 + \beta^2 + \gamma^2 = 4 + (\beta + \gamma)^2 - 2\beta\gamma = 4 + (2p)^2 - 2(p+6) = 4 + 4p^2 - 2p - 12 = 4p^2 - 2p - 8$

$f(p) = 4p^2 - 2p - 8$ とおくと、$f'(p) = 8p - 2$ となり、$p = \frac{1}{4}$ で最小値をとります。しかし、$p \le -2$ または $p \ge 3$ である必要があるので、最小値をとる $p$ の候補は、$p = -2$ または $p = 3$ です。

$f(-2) = 4(-2)^2 - 2(-2) - 8 = 16 + 4 - 8 = 12$

$f(3) = 4(3)^2 - 2(3) - 8 = 36 - 6 - 8 = 22$

$p = -2$ のとき、$x^2 + 4x + 4 = 0$, $(x+2)^2 = 0$, $x = -2$

$p = 3$ のとき、$x^2 - 6x + 9 = 0$, $(x-3)^2 = 0$, $x = 3$

$p = -2$ のとき、解は $2, -2, -2$ なので、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 2^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12$

$p = 3$ のとき、解は $2, 3, 3$ なので、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 2^2 + 3^2 + 3^2 = 4 + 9 + 9 = 22$

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = p + q + 6$

(2) 商は $x-1$, $q = p^2 + 6p$

(3) $P(x) - Q(x) = (x-2)(x^2 - 2px + p+6)$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ の最小値は12