$\alpha$ は第2象限の角、$\beta$ は第4象限の角であり、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ であるとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

## (5) の問題

1. 問題の内容

$\alpha$ は第2象限の角、$\beta$ は第4象限の角であり、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ であるとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求める。

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin \beta < 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin \beta = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ を加法定理を用いて計算する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{15} + \frac{3\sqrt{6}}{15} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{4}{5} \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{15} + \frac{4\sqrt{6}}{15} = \frac{-3\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}{15}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{-3\sqrt{3} + 4\sqrt{6}}{15}$

## (6) の問題

1. 問題の内容

$\pi < x < \frac{3}{2}\pi$ とする。$\sin 2x = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin x + \cos x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x$

問題より、$\sin 2x = \frac{1}{3}$ なので、

$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$\sin x + \cos x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\pi < x < \frac{3}{2}\pi$ なので、$x$ は第3象限の角である。

したがって、$\sin x < 0$ かつ $\cos x < 0$ である。

よって、$\sin x + \cos x < 0$ である。

したがって、$\sin x + \cos x = - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin x + \cos x = - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

## (7) の問題

1. 問題の内容

$\tan x = 2$ のとき、$\sin 2x$ と $\cos 2x$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}$

$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$

$\tan x = 2$ より、

$\sin 2x = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$

$\cos 2x = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin 2x = \frac{4}{5}$

$\cos 2x = -\frac{3}{5}$