$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

まず、$x$ を簡単にします。

$x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$x = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

次に、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}}$

これも分母を有理化するために、分母と分子に $4 + \sqrt{15}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} = \frac{4 + \sqrt{15}}{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})} = \frac{4 + \sqrt{15}}{16 - 15} = 4 + \sqrt{15}$

(1) $x + \frac{1}{x}$

$x + \frac{1}{x} = (4 - \sqrt{15}) + (4 + \sqrt{15}) = 8$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 8^2 - 2 = 64 - 2 = 62$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

よって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = 8^3 - 3(8) = 512 - 24 = 488$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 8$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 62$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 488$