問題1：$2^x + 2^{-x} = 3$ を満たす $x$ を求める問題。$2^x = t$ とおいたときの $t$ の値、および解 $x$ の個数を求める。 問題2：$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$\log_{10} 3^{14}$ の値を計算し、$3^{14}$ が何桁の数か、また最高位の数が何かを求める。

1. 問題の内容

問題1：$2^x + 2^{-x} = 3$ を満たす $x$ を求める問題。$2^x = t$ とおいたときの $t$ の値、および解 $x$ の個数を求める。

問題2：$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$\log_{10} 3^{14}$ の値を計算し、$3^{14}$ が何桁の数か、また最高位の数が何かを求める。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$2^x = t$ とおくと、$2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t}$ となる。与えられた方程式は、

$t + \frac{1}{t} = 3$

両辺に $t$ をかけて整理すると、

$t^2 + 1 = 3t$

$t^2 - 3t + 1 = 0$

この二次方程式を解く。

$t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}$

$t = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、3 には 3, 5 には 5, 6 には 2 が入る。4 の選択肢は ± なので、③が入る。

$t > 0$ を満たすので、どちらの解も条件を満たす。

$t = 2^x$ より、$x = \log_2 t$ である。

$t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \log_2 (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$ が解。

$t = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \log_2 (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ が解。

ここで、$2^x + 2^{-x} = 3$ のグラフを描くと、$y = 2^x + 2^{-x}$ は、$x=0$ に関して対称な関数であり、２つの解が存在する。したがって、7 には 2 が入る。

問題2：

$\log_{10} 3^{14} = 14 \log_{10} 3 = 14 \times 0.4771 = 6.6794$

したがって、8, 9 には 6, 6 が入る。

$3^{14}$ は、整数部分が 6 なので、$6 + 1 = 7$ 桁の数である。したがって、10 には 7 が入る。

$\log_{10} 4 = \log_{10} 2^2 = 2 \log_{10} 2$ なので、11 には 2 が入る。

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ なので、12 には 1 が入る。

$\log_{10} 3^{14} = 6.6794$ なので、$3^{14} = 10^{6.6794} = 10^{0.6794} \times 10^6$

$10^{0.6794}$ の値を求める。$\log_{10} 4 = 2 \log_{10} 2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$0.6020 < 0.6794 < 0.6990$ なので、$4 < 10^{0.6794} < 5$

したがって、最高位の数は 4 である。13 には 4 が入る。

3. 最終的な答え

問題1：

3: 3

4: ③

5: 5

6: 2

7: 2

問題2：

8: 6

9: 6

10: 7

11: 2

12: 1

13: 4