2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{3}{\alpha^2}$、$\frac{3}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を1つ作れ。ただし、作成する2次方程式の係数はすべて整数とする。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{3}{\alpha^2}$、$\frac{3}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を1つ作れ。ただし、作成する2次方程式の係数はすべて整数とする。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -3$、$\alpha \beta = -2$ である。

(2) $\frac{3}{\alpha^2}$、$\frac{3}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を求めるので、まずは解の和と積を計算する。

解の和は、

$\frac{3}{\alpha^2} + \frac{3}{\beta^2} = 3 \cdot \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2} = 3 \cdot \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = 3 \cdot \frac{(-3)^2 - 2(-2)}{(-2)^2} = 3 \cdot \frac{9 + 4}{4} = 3 \cdot \frac{13}{4} = \frac{39}{4}$

解の積は、

$\frac{3}{\alpha^2} \cdot \frac{3}{\beta^2} = \frac{9}{(\alpha \beta)^2} = \frac{9}{(-2)^2} = \frac{9}{4}$

(3) 求める2次方程式は、

$x^2 - (\frac{3}{\alpha^2} + \frac{3}{\beta^2})x + \frac{3}{\alpha^2} \cdot \frac{3}{\beta^2} = 0$

$x^2 - \frac{39}{4}x + \frac{9}{4} = 0$

係数を整数にするために、両辺に4をかける。

$4x^2 - 39x + 9 = 0$

3. 最終的な答え

$4x^2 - 39x + 9 = 0$