2次方程式 $3x^2 - 4x + k = 0$ の2つの解が $\sin\theta$ と $\cos\theta$ であるとき、定数 $k$ の値と $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求めよ。

## 問題39

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 4x + k = 0$ の2つの解が $\sin\theta$ と $\cos\theta$ であるとき、定数 $k$ の値と $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{4}{3}$

$\sin\theta \cos\theta = \frac{k}{3}$

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$(\frac{4}{3})^2 = 1 + 2(\frac{k}{3})$

$\frac{16}{9} = 1 + \frac{2k}{3}$

$\frac{7}{9} = \frac{2k}{3}$

$k = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{7}{6}$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{4}{3} (1 - \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{3})$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{4}{3} (1 - \frac{7}{18})$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{4}{3} (\frac{11}{18})$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{44}{54} = \frac{22}{27}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{7}{6}$

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{22}{27}$

## 問題40

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos2\theta + 4\cos\theta + 5 - a = 0$ の異なる解の個数を、定数 $a$ の値の範囲によって調べよ。

2. 解き方の手順

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より、

$2(2\cos^2\theta - 1) + 4\cos\theta + 5 - a = 0$

$4\cos^2\theta + 4\cos\theta + 3 - a = 0$

$\cos\theta = x$ とおくと、$-1 \leq x \leq 1$ であり、

$4x^2 + 4x + 3 - a = 0$

$4x^2 + 4x + 1 + 2 - a = 0$

$(2x + 1)^2 = a - 2$

$2x + 1 = \pm\sqrt{a-2}$

$2x = -1 \pm \sqrt{a-2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{a-2}}{2}$

$-1 \leq x \leq 1$ より、

$-1 \leq \frac{-1 \pm \sqrt{a-2}}{2} \leq 1$

$-2 \leq -1 \pm \sqrt{a-2} \leq 2$

$-1 \leq \pm\sqrt{a-2} \leq 3$

まず、$a-2 \geq 0$ より、$a \geq 2$

$-1 \leq \sqrt{a-2} \leq 3$ の場合、

$0 \leq a-2 \leq 9$

$2 \leq a \leq 11$

$-1 \leq -\sqrt{a-2} \leq 3$ の場合、

$-3 \leq \sqrt{a-2} \leq 1$

$0 \leq a-2 \leq 1$

$2 \leq a \leq 3$

$f(x) = 4x^2 + 4x + 3$ とすると、$f(x) = a$

$f(-1) = 4 - 4 + 3 = 3$

$f(1) = 4 + 4 + 3 = 11$

軸は $x = -\frac{1}{2}$ であり、$f(-\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2}) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

$2 < a < 3$ のとき、異なる2つの解を持つ。$\cos\theta = x_1, x_2$ とすると、それぞれ2つずつの解を持つので、合計4個。

$a = 3$ のとき、$\cos\theta = -1$ と $\cos\theta = \frac{0}{2} = 0$ を持つ。$\cos\theta = -1$ は1つの解、$\cos\theta = 0$ は2つの解を持つので、合計3個。

$3 < a < 11$ のとき、1つの解が $-1 < x < 0$、もう一つの解が $0 < x < 1$ にあるので、それぞれ2つずつの解を持ち、合計4個。

$a = 11$ のとき、1つの解が$x = 1$ と $x=-3/2$。 $x = 1$ は1つ解。$x=-3/2$は解なし。合計1個

まとめると、

$a<2$ 解なし

$a=2$ 解なし

$2<a<3$ 解4個

$a=3$ 解3個

$3<a<11$ 解4個

$a=11$ 解1個

$a>11$ 解なし

3. 最終的な答え

$a < 2$ のとき、解なし

$a = 2$ のとき、解なし

$2 < a < 3$ のとき、4個

$a = 3$ のとき、3個

$3 < a < 11$ のとき、4個

$a = 11$ のとき、1個

$a > 11$ のとき、解なし