$\log_{10} 2 = 0.301$ とする。不等式 $10^a < (\frac{2}{100})^5 < 10^b$ を満たす $a$ のうち最も大きな整数と、$b$ のうち最も小さな整数を求める。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.301$ とする。不等式 $10^a < (\frac{2}{100})^5 < 10^b$ を満たす $a$ のうち最も大きな整数と、$b$ のうち最も小さな整数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{2}{100})^5$ を $\log_{10}$ で評価することを考える。不等式の各辺の常用対数をとる。

$$a < \log_{10} \left(\frac{2}{100}\right)^5 < b$$

対数の性質を用いて、

$$a < 5 \log_{10} \left(\frac{2}{100}\right) < b$$

さらに、

$$a < 5 (\log_{10} 2 - \log_{10} 100) < b$$

$\log_{10} 2 = 0.301$ および $\log_{10} 100 = 2$ を代入すると、

$$a < 5 (0.301 - 2) < b$$

$$a < 5(-1.699) < b$$

$$a < -8.495 < b$$

$a$ は $-8.495$ より小さい最大の整数であるため、$a = -9$ である。

$b$ は $-8.495$ より大きい最小の整数であるため、$b = -8$ である。

3. 最終的な答え

$a = -9$

$b = -8$