与えられた3つの2次関数のグラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y=(x-2)^2 + 1$ (2) $y=-2(x+2)^2 + 4$ (3) $y=(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数のグラフを描き、それぞれの軸と頂点を求める問題です。

(1) $y=(x-2)^2 + 1$

(2) $y=-2(x+2)^2 + 4$

(3) $y=(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

2. 解き方の手順

2次関数の一般形は $y = a(x-p)^2 + q$ で表されます。このとき、頂点は $(p, q)$ であり、軸は $x = p$ です。

それぞれの関数について、この形に変形し、頂点と軸を求めます。グラフは、頂点を中心に、aの値に応じて開き方や向きが変わる放物線を描きます。

(1) $y=(x-2)^2 + 1$ の場合

この式は既に一般形 $y = a(x-p)^2 + q$ の形になっています。

$a = 1, p = 2, q = 1$ であるため、頂点は $(2, 1)$ 、軸は $x = 2$ です。グラフは、頂点 $(2, 1)$ を通る上に凸の放物線になります。

(2) $y=-2(x+2)^2 + 4$ の場合

この式も既に一般形 $y = a(x-p)^2 + q$ の形になっています。

$a = -2, p = -2, q = 4$ であるため、頂点は $(-2, 4)$ 、軸は $x = -2$ です。グラフは、頂点 $(-2, 4)$ を通る下に凸の放物線になります。

(3) $y=(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ の場合

この式も既に一般形 $y = a(x-p)^2 + q$ の形になっています。

$a = 1, p = \frac{1}{2}, q = -\frac{1}{4}$ であるため、頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ 、軸は $x = \frac{1}{2}$ です。グラフは、頂点 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ を通る上に凸の放物線になります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(2, 1)$、軸: $x = 2$

(2) 頂点: $(-2, 4)$、軸: $x = -2$

(3) 頂点: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$、軸: $x = \frac{1}{2}$