与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、それぞれの行列式 $|A|$, $|B|$、転置行列の行列式 $|A'|$, $|B'|$、スカラー倍された行列の行列式 $|-2A|$, $|\frac{1}{4}B|$、そして積の行列式 $|AB|$, $|BA|$ を求める問題です。ここで、 $A = \begin{pmatrix} -8 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、それぞれの行列式 $|A|$, $|B|$、転置行列の行列式 $|A'|$, $|B'|$、スカラー倍された行列の行列式 $|-2A|$, $|\frac{1}{4}B|$、そして積の行列式 $|AB|$, $|BA|$ を求める問題です。ここで、

$A = \begin{pmatrix} -8 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ の計算:

$|A| = (-8) \times 2 - 3 \times (-3) = -16 + 9 = -7$

(2) 行列式 $|B|$ の計算:

$|B| = (-4) \times 5 - 3 \times (-6) = -20 + 18 = -2$

(3) 転置行列の行列式 $|A'|$ の計算:

$A' = \begin{pmatrix} -8 & -3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

$|A'| = (-8) \times 2 - (-3) \times 3 = -16 + 9 = -7$

一般に $|A'| = |A|$ が成立します。

(4) 転置行列の行列式 $|B'|$ の計算:

$B' = \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

$|B'| = (-4) \times 5 - (-6) \times 3 = -20 + 18 = -2$

一般に $|B'| = |B|$ が成立します。

(5) スカラー倍された行列の行列式 $|-2A|$ の計算:

$|-2A| = (-2)^2 |A| = 4 |A| = 4 \times (-7) = -28$

(6) スカラー倍された行列の行列式 $|\frac{1}{4}B|$ の計算:

$|\frac{1}{4}B| = (\frac{1}{4})^2 |B| = \frac{1}{16} |B| = \frac{1}{16} \times (-2) = -\frac{1}{8}$

(7) 積の行列式 $|AB|$ の計算:

$|AB| = |A| \times |B| = (-7) \times (-2) = 14$

(8) 積の行列式 $|BA|$ の計算:

$|BA| = |B| \times |A| = (-2) \times (-7) = 14$

一般に $|AB| = |BA|$ が成立します。

3. 最終的な答え

$|A| = -7$

$|B| = -2$

$|A'| = -7$

$|B'| = -2$

$|-2A| = -28$

$|\frac{1}{4}B| = -\frac{1}{8}$

$|AB| = 14$

$|BA| = 14$