$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos 2\theta + 4\cos \theta + 5 - a = 0$ の異なる解の個数を、定数 $a$ の値の範囲によって調べる。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos 2\theta + 4\cos \theta + 5 - a = 0$ の異なる解の個数を、定数 $a$ の値の範囲によって調べる。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表す。$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ なので、与えられた方程式は

$$2(2\cos^2 \theta - 1) + 4\cos \theta + 5 - a = 0$$

$$4\cos^2 \theta + 4\cos \theta + 3 - a = 0$$

ここで、$x = \cos \theta$ とおくと、$-1 \le x \le 1$ である。方程式は

$$4x^2 + 4x + 3 - a = 0$$

$$4x^2 + 4x + 3 = a$$

となる。この2次方程式を $f(x) = 4x^2 + 4x + 3$ とおくと、 $f(x) = a$ の $-1 \le x \le 1$ における解の個数を考えればよい。

$f(x)$ を平方完成すると、

$$f(x) = 4(x^2 + x) + 3 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{4}) + 3 = 4(x + \frac{1}{2})^2 + 2$$

したがって、$f(x)$ は $x = -\frac{1}{2}$ で最小値 $2$ をとる。

また、$f(-1) = 4(-1)^2 + 4(-1) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$, $f(1) = 4(1)^2 + 4(1) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$ である。

したがって、$y = f(x)$ のグラフは、$-1 \le x \le 1$ において、$x = -\frac{1}{2}$ で最小値 $2$ をとり、$f(-1) = 3$, $f(1) = 11$ である。

ここで、$y = a$ と $y = f(x)$ のグラフの交点の個数と、$\theta$ の個数の関係を考える。

- $x = 1$ のとき、$\cos \theta = 1$ より $\theta = 0$ の1個。

- $x = -1$ のとき、$\cos \theta = -1$ より $\theta = \pi$ の1個。

- $-1 < x < 1$ のとき、$\cos \theta = x$ となる $\theta$ は、$0 \le \theta < 2\pi$ において2個存在する。

したがって、以下のようになる。

- $a < 2$ のとき、解なし。

- $a = 2$ のとき、$x = -\frac{1}{2}$ より $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ であり、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ の2個。

- $2 < a < 3$ のとき、$-1 < x < 1$ となる $x$ が2個存在するので、解は4個。

- $a = 3$ のとき、$x = -1$ と $x$ ($-1 < x < 1$) が1個ずつ存在するので、解は3個。

- $3 < a < 11$ のとき、$-1 < x < 1$ となる $x$ が1個存在するので、解は2個。

- $a = 11$ のとき、$x = 1$ より $\cos \theta = 1$ であり、$\theta = 0$ の1個。

- $a > 11$ のとき、解なし。

3. 最終的な答え

- $a < 2$ のとき、解の個数は0個。

- $a = 2$ のとき、解の個数は2個。

- $2 < a < 3$ のとき、解の個数は4個。

- $a = 3$ のとき、解の個数は3個。

- $3 < a < 11$ のとき、解の個数は2個。

- $a = 11$ のとき、解の個数は1個。

- $a > 11$ のとき、解の個数は0個。