$n$ 次正方行列 $A$, $B$ と $n$ 次正則行列 $P$ に対して、 $$|AP + P^{-1}B| = |PA + BP^{-1}|$$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$n$ 次正方行列 $A$, $B$ と $n$ 次正則行列 $P$ に対して、

$$|AP + P^{-1}B| = |PA + BP^{-1}|$$

が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、左辺を変形する。

$$|AP + P^{-1}B| = |P(AP + P^{-1}B)P^{-1}| = |PAP^{-1} + P P^{-1} B P^{-1}| = |PAP^{-1} + BP^{-1}|$$

ここで、$|PAP^{-1}| = |P||A||P^{-1}| = |A||P||P^{-1}| = |A|$ を用いた。

次に、右辺を変形する。

$$|PA + BP^{-1}| = |(PA + BP^{-1})|$$

ここで、以下のように変形する。

$|AP + P^{-1}B| = |P(AP + P^{-1}B)P^{-1}|$ (∵$|A| = |PAP^{-1}|$)

$= |PAP^{-1} + PP^{-1}BP^{-1}| = |PAP^{-1} + BP^{-1}|$

ここで$|PA + BP^{-1}|$の左から$P^{-1}$、右から$P$をかけてみる。

$|P^{-1}(PA + BP^{-1})P| = |A + P^{-1}BP^{-1}P| = |A + P^{-1}B|$.

一方で、$|AP + P^{-1}B|$ の左から$P^{-1}$、右から$P$をかけてみる。

$|P^{-1}(AP + P^{-1}B)P| = |P^{-1}APP + P^{-1}BP| = |P^{-1}AP + P^{-1}BP|$

$|AP + P^{-1}B| = |PA + BP^{-1}|$ を示すために、両辺に同じ行列をかけることを考える。

$|AP + P^{-1}B| = |P(AP + P^{-1}B)|/|P|$

$= |PAP + B|/|P|$

$|PA + BP^{-1}| = |(PA + BP^{-1})P|/|P|$

$= |PAP + B|/|P|$.

したがって、$|AP + P^{-1}B| = |PA + BP^{-1}|$

別の解法を示す。

左辺を変形する。

$|AP + P^{-1}B| = |(APP^{-1} + P^{-1}B)P| |P^{-1}| = |A + P^{-1}BP^{-1}| |P| |P^{-1}| = |A + P^{-1}BP^{-1}|$

右辺を変形する。

$|PA + BP^{-1}| = |P(A + P^{-1}BP^{-1})| = |P| |A + P^{-1}BP^{-1}|$

3. 最終的な答え

$|AP + P^{-1}B| = |PA + BP^{-1}|$ が成り立つ。