正方行列 $A$ が $|A| \neq 0$ を満たすならば、$A$ は正則行列であることを示す問題です。ここで、$|A|$ は行列 $A$ の行列式を表します。

1. 問題の内容

正方行列 $A$ が $|A| \neq 0$ を満たすならば、$A$ は正則行列であることを示す問題です。ここで、$|A|$ は行列 $A$ の行列式を表します。

2. 解き方の手順

正方行列 $A$ が正則行列であるとは、逆行列 $A^{-1}$ が存在することです。

逆行列が存在するための必要十分条件は、$|A| \neq 0$ であることです。

$A$ の余因子行列を $\tilde{A}$ とすると、$A$ の逆行列は以下の式で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}$

ここで、$\tilde{A}$ の $(i, j)$ 成分は $A$ の $(j, i)$ 余因子です。

問題の条件より、$|A| \neq 0$ であるので、上の式において $\frac{1}{|A|}$ は定義できます。

したがって、$A^{-1}$ が存在するため、$A$ は正則行列です。

3. 最終的な答え

正方行列 $A$ が $|A| \neq 0$ を満たすならば、$A$ は正則行列である。