$A, B$ を2次正方行列とし、列ベクトルへの分割を $A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2], B = [\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2]$ とする。ある定数 $\alpha, \beta$ が存在して $\mathbf{b}_1 = \alpha\mathbf{a}_2, \mathbf{a}_1 = \beta\mathbf{b}_2$ となっているならば、 $|A + B| = |A| + |B|$ が成り立つことを示す。
2025/6/17
1. 問題の内容
を2次正方行列とし、列ベクトルへの分割を とする。ある定数 が存在して となっているならば、 が成り立つことを示す。
2. 解き方の手順
まず、与えられた条件を数式で表現します。
, であり、 が成立します。
行列式を計算するために、行列 を考えます。
行列式は線形性を持つため、
同じベクトルが並ぶ行列の行列式は0なので、。
なので、
一方、
したがって、
よって、 が成り立ちます。
3. 最終的な答え
が成り立つ。