与えられた2つの4次行列式の値を計算する問題です。 (1) $ \begin{vmatrix} a+b+c & a+b & a & a \\ a+b & a+b+c & a & a \\ a & a & a+b+c & a+b \\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} b^2+c^2 & ab & ca \\ ab & c^2+a^2 & bc \\ ca & bc & a^2+b^2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの4次行列式の値を計算する問題です。

(1)

$ \begin{vmatrix}

a+b+c & a+b & a & a \\

a+b & a+b+c & a & a \\

a & a & a+b+c & a+b \\

a & a & a+b & a+b+c

\end{vmatrix} $

(2)

$ \begin{vmatrix}

b^2+c^2 & ab & ca \\

ab & c^2+a^2 & bc \\

ca & bc & a^2+b^2

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

(1) の行列式

1列目から2列目, 2列目から3列目, 3列目から4列目を引きます。

$ \begin{vmatrix}

c & b & 0 & a \\

b & c & 0 & a \\

0 & 0 & c & a+b \\

0 & 0 & b & c

\end{vmatrix} $

この行列式はブロック対角行列なので、$2 \times 2$行列式の積で計算できます。

$\begin{vmatrix} c & b \\ b & c \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} c & a+b \\ b & c \end{vmatrix} = (c^2 - b^2)(c^2 - b(a+b)) = (c^2 - b^2)(c^2 - ab - b^2)$

これで最終的な計算に進めます。

ここでミスを発見したので、別の解法で解きます。

第1列、第2列、第3列、第4列を全て足して、第1列に加えます。

$ \begin{vmatrix}

3a+2b+c & a+b & a & a \\

3a+2b+c & a+b+c & a & a \\

3a+2b+c & a & a+b+c & a+b \\

3a+2b+c & a & a+b & a+b+c

\end{vmatrix} $

第1列を $(3a+2b+c)$ でくくり出します。

$ (3a+2b+c) \begin{vmatrix}

1 & a+b & a & a \\

1 & a+b+c & a & a \\

1 & a & a+b+c & a+b \\

1 & a & a+b & a+b+c

\end{vmatrix} $

第2行から第1行、第3行から第1行、第4行から第1行を引きます。

$ (3a+2b+c) \begin{vmatrix}

1 & a+b & a & a \\

0 & c & 0 & 0 \\

0 & -b & b+c & b \\

0 & -b & b & b+c

\end{vmatrix} $

第1列で展開します。

$ (3a+2b+c) \begin{vmatrix}

c & 0 & 0 \\

-b & b+c & b \\

-b & b & b+c

\end{vmatrix} $

$ c \begin{vmatrix}

b+c & b \\

b & b+c

\end{vmatrix} = c ((b+c)^2 - b^2) = c (b^2 + 2bc + c^2 - b^2) = c (2bc + c^2) = c^2 (2b+c) $

したがって、答えは$c^2(2b+c)(3a+2b+c) = c^2(3ac+2bc+c^2+6ab+4b^2+2bc) = (3a+2b+c)c^2(c+2b)$.

$ = c \begin{vmatrix}

b+c & b \\

b & b+c

\end{vmatrix} $

行列式を展開すると

$(3a+2b+c)c((b+c)^2 - b^2) = (3a+2b+c)c(2bc+c^2)=(3a+2b+c)c^2(2b+c)$

(2) の行列式

$ \begin{vmatrix}

b^2+c^2 & ab & ca \\

ab & c^2+a^2 & bc \\

ca & bc & a^2+b^2

\end{vmatrix} $

1行目を $a$, 2行目を $b$, 3行目を $c$ で割って

行列式全体に $abc$ をかけます。

$ abc \begin{vmatrix}

\frac{b^2+c^2}{a} & b & c \\

a & \frac{c^2+a^2}{b} & c \\

a & b & \frac{a^2+b^2}{c}

\end{vmatrix} $

1列目に $a$, 2列目に $b$, 3列目に $c$ をかけて

行列式全体を $abc$ で割ります。

$ \begin{vmatrix}

b^2+c^2 & ab & ca \\

ab & c^2+a^2 & bc \\

ca & bc & a^2+b^2

\end{vmatrix} = a^2b^2c^2 \begin{vmatrix}

\frac{b^2+c^2}{a^2} & \frac{b^2}{b^2} & \frac{c^2}{c^2} \\

\frac{a^2}{a^2} & \frac{c^2+a^2}{b^2} & \frac{c^2}{c^2} \\

\frac{a^2}{a^2} & \frac{b^2}{b^2} & \frac{a^2+b^2}{c^2}

\end{vmatrix} $

$ \begin{vmatrix}

b^2+c^2 & ab & ac \\

ab & a^2+c^2 & bc \\

ac & bc & a^2+b^2

\end{vmatrix} $

この行列式は $4a^2b^2c^2$に等しい。

3. 最終的な答え

(1): $(3a+2b+c)c^2(c+2b)$

(2): $4a^2b^2c^2$