問題5は、長さ36mのロープで長方形の囲いを作る時、囲いの面積が最も大きくなるときの長方形の面積とその時の縦の長さを求め、面積 $y$ を求める $x$ の式を作る問題です。ここで、$x$ は長方形の縦の長さを表し、$y$ は長方形の面積を表します。 問題6は、与えられた2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5は、長さ36mのロープで長方形の囲いを作る時、囲いの面積が最も大きくなるときの長方形の面積とその時の縦の長さを求め、面積 $y$ を求める $x$ の式を作る問題です。ここで、$x$ は長方形の縦の長さを表し、$y$ は長方形の面積を表します。

問題6は、与えられた2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題5：

ロープの長さは36mなので、長方形の縦の長さを $x$ とすると、横の長さは $(36-2x)/2 = 18 - x$ となります。

長方形の面積 $y$ は、$y = x(18 - x) = -x^2 + 18x$ で表されます。

面積が最大になるのは、この2次関数が最大値を取る時です。

$y = -(x^2 - 18x) = -(x^2 - 18x + 81 - 81) = -(x - 9)^2 + 81$

よって、$x = 9$ のとき、$y$ は最大値81をとります。

この時、縦の長さは9m、横の長さは $18 - 9 = 9$ mとなり、長方形は正方形になります。

面積の最大値は81 $m^2$ で、その時の縦の長さは9mです。

$y$ を求める $x$ の式は、$y = -x^2 + 18x$ です。

問題6 (1):

$y = x^2 - 2x - 15$

$y = 0$ のとき、$x^2 - 2x - 15 = 0$ を解きます。

$(x + 3)(x - 5) = 0$

よって、$x = -3$ または $x = 5$ です。

問題6 (2):

$y = x^2 - 6x + 9$

$y = 0$ のとき、$x^2 - 6x + 9 = 0$ を解きます。

$(x - 3)^2 = 0$

よって、$x = 3$ です。

3. 最終的な答え

問題5：

面積の最大値：81 $m^2$

縦の長さ：9 m

$y$ を求める $x$ の式：$y = -x^2 + 18x$

問題6 (1):

$(x+3)(x-5) = 0$

$x = -3, 5$

問題6 (2):

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$