問題は、ある規則に従って自然数が並んだ表に関する問題です。 (1) $n$列目の$(2n-1)$行目にある自然数を$n$で表す。 (2) $(n+1)$列目の1行目にある自然数を$n$で表すために、空欄を埋める。 (3) $n$列目の$m$行目にある自然数を$n$と$m$を用いて表す。ただし、$1 \le m \le 2n-1$。 (4) 100列目の100行目にある自然数を求める。

1. 問題の内容

問題は、ある規則に従って自然数が並んだ表に関する問題です。

(1) $n$列目の$(2n-1)$行目にある自然数を$n$で表す。

(2) $(n+1)$列目の1行目にある自然数を$n$で表すために、空欄を埋める。

(3) $n$列目の$m$行目にある自然数を$n$と$m$を用いて表す。ただし、$1 \le m \le 2n-1$。

(4) 100列目の100行目にある自然数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 表を観察すると、

1列目の1行目は1

2列目の3行目は4

3列目の5行目は9

4列目の7行目は16

5列目の9行目は25

となっているので、$n$列目の$(2n-1)$行目は$n^2$であると推測できる。

(2) $(n+1)$列目の1行目にある自然数は、$n$列目の$(2n-1)$行目の自然数($n^2$)の次の自然数であるから、$(n+1)$列目の1行目にある自然数を$n$を用いて表すと、$n^2+1$である。

したがって、アは$(2n-1)$、イは$n^2+1$となる。

(3) $n$列目の1行目の数は、$(n-1)^2+1$である。

$n$列目の各行の数は1ずつ増えていくので、$n$列目の$m$行目の数は、

$(n-1)^2+1 + (m-1) = (n-1)^2+m$

$=n^2-2n+1+m$

$=n^2-2n+m+1$となる。

(4) (3)の結果を利用して、$n=100, m=100$を代入すると、

$100^2 - 2 \times 100 + 100 + 1 = 10000 - 200 + 100 + 1 = 9901$

3. 最終的な答え

(1) $n^2$

(2) ア: $(2n-1)$, イ: $n^2+1$

(3) $n^2-2n+m+1$

(4) 9901