与えられた連立不等式 $ \begin{cases} x > 3a + 1 \\ 2x - 1 > 6(x - 2) \end{cases} $ について、以下の3つの条件を満たす $a$ の値の範囲をそれぞれ求める。 (1) 解が存在しない。 (2) 解に $2$ が入る。 (3) 解に入る整数が $3$ つだけとなる。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$\begin{cases} x > 3a + 1 \\ 2x - 1 > 6(x - 2) \end{cases}$

について、以下の3つの条件を満たす $a$ の値の範囲をそれぞれ求める。

(1) 解が存在しない。

(2) 解に $2$ が入る。

(3) 解に入る整数が $3$ つだけとなる。

2. 解き方の手順

まず、連立不等式を解く。

2番目の不等式を変形すると、

$2x - 1 > 6x - 12$

$-4x > -11$

$x < \frac{11}{4} = 2.75$

したがって、連立不等式は

$\begin{cases} x > 3a + 1 \\ x < 2.75 \end{cases}$

となる。

(1) 解が存在しない条件

解が存在しないのは、$3a + 1 \ge 2.75$ のときである。

$3a \ge 1.75$

$a \ge \frac{1.75}{3} = \frac{7}{12}$

(2) 解に $2$ が入る条件

解に $2$ が入るためには、$3a + 1 < 2 < 2.75$ である必要がある。

$3a + 1 < 2$ より、$3a < 1$ なので、$a < \frac{1}{3}$

このとき、連立不等式の解は、$3a + 1 < x < 2.75$となるので、$2$が解に含まれる条件は、$3a+1 < 2$なので、$a < \frac{1}{3}$

(3) 解に入る整数が $3$ つだけとなる条件

$3a + 1 < x < 2.75$を満たす整数が3つだけとなるのは、$x = 0,1,2$となる時、$2.75$より小さい整数は$0,1,2$であるので$0,1,2$が入るためには、$3a + 1 < 0$であれば$x=0$が含まれないので$0<3a + 1<1$。また、$2$より大きい整数は含まれてはいけないので、$x=0,1,2$が解となるのは、

$-1 \le 3a + 1 < 0$

$-2 \le 3a < -1$

$-\frac{2}{3} \le a < -\frac{1}{3}$

この範囲で、解は、$0<x<2.75$なので$x = 0,1,2$となり、３つの整数解を持つ。

3. 最終的な答え

(1) 解が存在しない条件: $a \ge \frac{7}{12}$

(2) 解に $2$ が入る条件: $a < \frac{1}{3}$

(3) 解に入る整数が $3$ つだけとなる条件: $-\frac{2}{3} \le a < -\frac{1}{3}$