2次関数 $y=2x^2 + 4x + 3$ について、平方完成、グラフの描画、最大値または最小値の算出を行う。 また、与えられた定義域を持つ2つの2次関数のグラフを描画し、最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=2x^2 + 4x + 3$ について、平方完成、グラフの描画、最大値または最小値の算出を行う。

また、与えられた定義域を持つ2つの2次関数のグラフを描画し、最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

問題3:

(1) 平方完成

$y=2x^2 + 4x + 3$

$= 2(x^2 + 2x) + 3$

$= 2((x+1)^2 - 1) + 3$

$= 2(x+1)^2 - 2 + 3$

$= 2(x+1)^2 + 1$

(2) グラフの描画

頂点は $(-1, 1)$。軸は $x=-1$。

$x=0$ のとき $y=3$ なので、$(0, 3)$ を通る。

(3) 最大値または最小値

下に凸の放物線なので、最小値を持つ。

頂点の $y$ 座標が最小値となる。

最小値は $1$ ($x = -1$ のとき)

最大値は存在しない。

問題4:

(1) $y=(x-1)^2 - 2$ ($0 \le x \le 3$)

頂点は $(1, -2)$。軸は $x=1$。

$x=0$ のとき $y = (0-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$x=3$ のとき $y = (3-1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

定義域内でグラフを描画。

最大値: $2$ ($x = 3$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = 1$ のとき)

(2) $y=-(x+3)^2 + 3$ ($-2 \le x \le -1$)

頂点は $(-3, 3)$。軸は $x=-3$。

$x=-2$ のとき $y = -(-2+3)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$

$x=-1$ のとき $y = -(-1+3)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$

定義域内でグラフを描画。上に凸であることに注意。

最大値: $2$ ($x = -2$ のとき)

最小値: $-1$ ($x = -1$ のとき)

3. 最終的な答え

問題3:

(1) $y = 2(x+1)^2 + 1$

(3) 最小値: $1$ ($x = -1$ のとき) 最大値: ない

問題4:

(1) 最大値: $2$ ($x = 3$ のとき) 最小値: $-2$ ($x = 1$ のとき)

(2) 最大値: $2$ ($x = -2$ のとき) 最小値: $-1$ ($x = -1$ のとき)