$0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、以下の2つの式を満たす $x, y$ を求める問題です。 $tan(x+y) = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$ $tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、以下の2つの式を満たす $x, y$ を求める問題です。

$tan(x+y) = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$

$tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

まず、$tan(x+y)$ の値を整理します。

$tan(x+y) = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

$tan(x+y)$ の加法定理より、

$tan(x+y) = \frac{tan x + tan y}{1 - tan x tan y}$

与えられた条件 $tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$ を代入すると、

$-2 - \sqrt{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - tan x tan y}$

$1 - tan x tan y = \frac{1 + \sqrt{3}}{-2 - \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-(2 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})(-2 + \sqrt{3})}{-(2 + \sqrt{3})(-2 + \sqrt{3})} = \frac{-2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3}{-(4-3)} = \frac{1 - \sqrt{3}}{-1} = -1 + \sqrt{3}$

$tan x tan y = 1 - (-1 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$

$tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$

$tan x tan y = 2 - \sqrt{3}$

$tan x, tan y$ は、$t$ の2次方程式 $t^2 - (1+\sqrt{3})t + (2-\sqrt{3}) = 0$ の解である。

$t = \frac{(1+\sqrt{3}) \pm \sqrt{(1+\sqrt{3})^2 - 4(2-\sqrt{3})}}{2} = \frac{(1+\sqrt{3}) \pm \sqrt{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3}}}{2} = \frac{(1+\sqrt{3}) \pm \sqrt{-4 + 6\sqrt{3}}}{2}$

ここで、明らかに$\sqrt{-4+6\sqrt{3}}$が実数でないので、$x, y$は複素数である。これは、$0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$という条件に反する。しかし問題文に誤りがないと仮定して進めていく。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$

$tan(\frac{5\pi}{12}) = tan(75^\circ) = tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{tan45^\circ + tan30^\circ}{1 - tan45^\circ tan30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

よって$tan(x+y) = -2 - \sqrt{3} = -tan(\frac{5\pi}{12}) = tan(-\frac{5\pi}{12}) = tan(\pi-\frac{5\pi}{12}) = tan(\frac{7\pi}{12})$.

$x+y = \frac{7\pi}{12}$

$tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$

$tan x + tan (\frac{7\pi}{12} - x) = 1 + \sqrt{3}$

$\frac{tan x + tan (\frac{7\pi}{12})}{1 - tan x tan (\frac{7\pi}{12})} = tan(x + \frac{7\pi}{12})$

$t^2 - (1 + \sqrt{3})t + (2 - \sqrt{3}) = 0$

$t = \frac{(1 + \sqrt{3}) \pm \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3})}}{2} = \frac{(1 + \sqrt{3}) \pm \sqrt{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3}}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{-4 + 6\sqrt{3}}}{2}$

$x = \frac{\pi}{6}$ and $y = \frac{5\pi}{12}$ or $x = \frac{5\pi}{12}$ and $y = \frac{\pi}{6}$

$tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$tan(\frac{5\pi}{12}) = 2 + \sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} + 2 + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} \neq 1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{4}$, $y = \frac{\pi}{3}$

または

$x = \frac{\pi}{3}$, $y = \frac{\pi}{4}$

である。

$tan(x+y) = tan(\frac{7\pi}{12}) = \frac{tan x + tan y}{1 - tan x tan y}$

と

$tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$

$x = \pi/4$のとき、$tan x = 1$であり，$y=\pi/3$のとき$tan y = \sqrt{3}$である．

したがって、$tan x + tan y = 1 + \sqrt{3}$.

$tan(x+y) = tan(\pi/4+\pi/3)=tan(7\pi/12) = -2-\sqrt{3}$.

$\\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \\frac{(1+\sqrt{3})^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$.

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$，$y = \frac{\pi}{3}$または$x = \frac{\pi}{3}$，$y = \frac{\pi}{4}$。