与えられた方程式 $-38 = \frac{4^n-1}{4-1} - n \times 4^n$ を満たす $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $-38 = \frac{4^n-1}{4-1} - n \times 4^n$ を満たす $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を整理します。

$-38 = \frac{4^n-1}{3} - n \times 4^n$

両辺に3をかけます。

$-114 = 4^n - 1 - 3n \times 4^n$

$4^n$ でくくります。

$-114 = 4^n(1 - 3n) - 1$

$-113 = 4^n(1 - 3n)$

ここで、$n$ は整数であると仮定して、いくつかの整数値を代入して試してみます。

$n = 1$ のとき、$4^1(1 - 3 \times 1) = 4(-2) = -8$

$n = 2$ のとき、$4^2(1 - 3 \times 2) = 16(-5) = -80$

$n = 3$ のとき、$4^3(1 - 3 \times 3) = 64(-8) = -512$

$n = -1$ のとき、$4^{-1}(1 - 3 \times (-1)) = \frac{1}{4}(4) = 1$

$n = -2$ のとき、$4^{-2}(1 - 3 \times (-2)) = \frac{1}{16}(7) = \frac{7}{16}$

これらの試行から、$n$が整数であるとすると、与えられた方程式を満たすような整数解は見つかりそうにありません。

しかし、$n=2$のとき$-80$となり、$-113$に近いことから、さらなる整数以外の解を探すことも考えられますが、ここでは整数解に焦点を当てます。

もう一度、方程式を注意深く見て、計算間違いがないか確認します。

$-113 = 4^n(1 - 3n)$

$n$が整数である場合、左辺は負の整数であり、右辺も負の整数である必要があります。

$4^n$ は常に正であるため、$1 - 3n$ は負である必要があります。したがって、$1 - 3n < 0$ より、$1 < 3n$ 、つまり $n > \frac{1}{3}$ となります。

$n=1,2,3...$のときに、左辺と右辺が一致する値はないので、整数解は存在しないと予想されます。

3. 最終的な答え

与えられた方程式 $-38 = \frac{4^n-1}{4-1} - n \times 4^n$ を満たす整数 $n$ は存在しない。