$x$は正の実数で、$x^2 + \frac{9}{x^2} = 8$を満たすとする。このとき、$(x+\frac{3}{x})^2$, $x+\frac{3}{x}$, $x^3 + \frac{27}{x^3}$, $x^4 + \frac{81}{x^4}$, $(x-\frac{3}{x})^2$, $x-\frac{3}{x}$, $x$の値を求める。

1. 問題の内容

$x$は正の実数で、$x^2 + \frac{9}{x^2} = 8$を満たすとする。このとき、$(x+\frac{3}{x})^2$, $x+\frac{3}{x}$, $x^3 + \frac{27}{x^3}$, $x^4 + \frac{81}{x^4}$, $(x-\frac{3}{x})^2$, $x-\frac{3}{x}$, $x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + \frac{9}{x^2} = 8$の両辺に6を加える。

$x^2 + 6 + \frac{9}{x^2} = 14$

$(x+\frac{3}{x})^2 = 14$

$x$は正の実数なので、$x+\frac{3}{x} > 0$。したがって、

$x+\frac{3}{x} = \sqrt{14}$

次に、$x^3 + \frac{27}{x^3}$を計算する。公式$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$を使う。

$x^3 + \frac{27}{x^3} = (x+\frac{3}{x})(x^2 - x\cdot\frac{3}{x} + \frac{9}{x^2})$

$= (x+\frac{3}{x})(x^2 + \frac{9}{x^2} - 3)$

$=(x+\frac{3}{x})(8 - 3) = 5(x+\frac{3}{x}) = 5\sqrt{14}$

次に、$x^4 + \frac{81}{x^4}$を計算する。

$(x^2 + \frac{9}{x^2})^2 = x^4 + 2\cdot x^2\cdot\frac{9}{x^2} + \frac{81}{x^4} = x^4 + 18 + \frac{81}{x^4}$

$8^2 = x^4 + 18 + \frac{81}{x^4}$

$64 = x^4 + 18 + \frac{81}{x^4}$

$x^4 + \frac{81}{x^4} = 64 - 18 = 46$

次に、$(x-\frac{3}{x})^2$を計算する。

$(x-\frac{3}{x})^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot\frac{3}{x} + \frac{9}{x^2} = x^2 - 6 + \frac{9}{x^2} = x^2 + \frac{9}{x^2} - 6 = 8 - 6 = 2$

$x - \frac{3}{x} < 0$のとき、$x - \frac{3}{x} = -\sqrt{2}$

$x - \frac{3}{x} = -\sqrt{2}$

$x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$

$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{14}}{2}$

$x$は正の実数なので、$x = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$(x+\frac{3}{x})^2 = 14$

$x+\frac{3}{x} = \sqrt{14}$

$x^3 + \frac{27}{x^3} = 5\sqrt{14}$

$x^4 + \frac{81}{x^4} = 46$

$(x-\frac{3}{x})^2 = 2$

$x - \frac{3}{x} = -\sqrt{2}$

$x = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$