ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動すると、放物線 $y=x^2-6x+7$ に移った。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動すると、放物線 $y=x^2-6x+7$ に移った。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸に関して対称移動した後の放物線 $y=x^2-6x+7$ を、移動の逆順に移動させることを考える。

(1) $x$軸に関して対称移動する前の放物線の方程式を求める。$x$軸に関して対称移動するということは、$y$を$-y$に置き換えることであるから、移動前の放物線の方程式は、

$-y = x^2 - 6x + 7$

$y = -x^2 + 6x - 7$

である。

(2) $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動する前の放物線の方程式を求める。平行移動の逆操作を行う。すなわち、$x$を$x+1$に、$y$を$y+3$に置き換える。

$y+3 = -(x+1)^2 + 6(x+1) - 7$

$y+3 = -(x^2 + 2x + 1) + 6x + 6 - 7$

$y+3 = -x^2 - 2x - 1 + 6x + 6 - 7$

$y+3 = -x^2 + 4x - 2$

$y = -x^2 + 4x - 5$

3. 最終的な答え

もとの放物線の方程式は $y = -x^2 + 4x - 5$ である。