次の2次関数のグラフを書き、その軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$ (2) $y = 2x^2 - 3x - 2$ (5) $y = 2(x+1)(x+4)$ (6) $y = (2x+1)(1-x)$

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフを書き、その軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 2$

(5) $y = 2(x+1)(x+4)$

(6) $y = (2x+1)(1-x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

まず、平方完成します。

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + \frac{6}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 2$

軸は $x = 2$、頂点は $(2, 2)$です。

(2) $y = 2x^2 - 3x - 2$

平方完成します。

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{16}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

軸は $x = \frac{3}{4}$、頂点は $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$です。

(5) $y = 2(x+1)(x+4)$

展開します。

$y = 2(x^2 + 5x + 4)$

$y = 2x^2 + 10x + 8$

平方完成します。

$y = 2(x^2 + 5x) + 8$

$y = 2(x^2 + 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 8$

$y = 2(x + \frac{5}{2})^2 - 2 \cdot \frac{25}{4} + 8$

$y = 2(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{2} + \frac{16}{2}$

$y = 2(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{2}$

軸は $x = -\frac{5}{2}$、頂点は $(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$です。

(6) $y = (2x+1)(1-x)$

展開します。

$y = 2x - 2x^2 + 1 - x$

$y = -2x^2 + x + 1$

平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 1$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{2}{16} + 1$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + \frac{8}{8}$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

軸は $x = \frac{1}{4}$、頂点は $(\frac{1}{4}, \frac{9}{8})$です。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x=2$, 頂点: $(2, 2)$

(2) 軸: $x=\frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

(5) 軸: $x=-\frac{5}{2}$, 頂点: $(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2})$

(6) 軸: $x=\frac{1}{4}$, 頂点: $(\frac{1}{4}, \frac{9}{8})$