(1) $k = \frac{8}{\sqrt{5}+1}$ の分母を有理化し、$k$ の値を求め、さらに $3k$ の整数部分を求める。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} |(\sqrt{5}+1)x - 16| < 8 & \cdots ① \\ |x| + 2x - 4 \ge 7 & \cdots ② \end{cases}$ について、以下の問いに答える。 (i) 不等式①の解を求める。 (ii) 不等式②について、$x < 0$, $0 \le x < 4$, $4 \le x$ の3つの場合に分けて不等式を表現し、不等式②の解を求める。 (iii) 2つの不等式①, ②をともに満たす整数 $x$ の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $k = \frac{8}{\sqrt{5}+1}$ の分母を有理化し、$k$ の値を求め、さらに $3k$ の整数部分を求める。

(2) 連立不等式

$\begin{cases}

|(\sqrt{5}+1)x - 16| < 8 & \cdots ① \\

|x| + 2x - 4 \ge 7 & \cdots ②

\end{cases}$

について、以下の問いに答える。

(i) 不等式①の解を求める。

(ii) 不等式②について、$x < 0$, $0 \le x < 4$, $4 \le x$ の3つの場合に分けて不等式を表現し、不等式②の解を求める。

(iii) 2つの不等式①, ②をともに満たす整数 $x$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$k$ の分母を有理化する。

$k = \frac{8}{\sqrt{5}+1} = \frac{8(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{8(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{8(\sqrt{5}-1)}{4} = 2(\sqrt{5}-1) = 2\sqrt{5}-2$

よって、$k = 2\sqrt{5} - 2$

次に、$3k$ を計算する。

$3k = 3(2\sqrt{5}-2) = 6\sqrt{5} - 6$

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ より、$2.236 < \sqrt{5} < 2.237$ である。

$6\sqrt{5} - 6$ の値を評価する。

$6 \times 2.236 - 6 = 13.416 - 6 = 7.416$

$6 \times 2.237 - 6 = 13.422 - 6 = 7.422$

したがって、$3k = 6\sqrt{5} - 6$ の整数部分は 7 である。

(2)

(i) 不等式①について、

$|(\sqrt{5}+1)x - 16| < 8$ は、

$-8 < (\sqrt{5}+1)x - 16 < 8$

$8 < (\sqrt{5}+1)x < 24$

$\frac{8}{\sqrt{5}+1} < x < \frac{24}{\sqrt{5}+1}$

$2(\sqrt{5}-1) < x < 6(\sqrt{5}-1)$

$2\sqrt{5}-2 < x < 6\sqrt{5}-6$

ここで、$2\sqrt{5}-2 \approx 2(2.236) - 2 = 4.472 - 2 = 2.472$

$6\sqrt{5}-6 \approx 6(2.236) - 6 = 13.416 - 6 = 7.416$

したがって、$2\sqrt{5}-2 < x < 6\sqrt{5}-6$

(ii) 不等式②について、

$|x| + 2x - 4 \ge 7$

$|x| + 2x \ge 11$

・$x < 0$ のとき、$-x + 2x \ge 11$ より $x \ge 11$。これは $x < 0$ を満たさないので不適。$x+8 \ge 7$ は $x \ge -1$ となり、これも $x < 0$ の範囲では、$x\ge 11$とあわせて解は存在しない。よって -x+2x-4 >= 7 から $-x+2x >=11$ となり x>=11 となる。よってこれは x<0を満たさない。したがって -x+2x-4 >= 7となる。よって、解はない

$-x+2x>=11$, x>=

1

1. x<0 の場合、これは解を持たない. よってx>11を満たすものはない。

$-x+2x-4 \ge 7$ より $-x+2x \ge 11$, よって $x\ge 11$ となる。

しかし$x<0$なので、これは成り立たない. つまり解はない。不等式②は成り立たない。

したがって、選択肢の中では、②$-x+8\geq 7$に近い。$-x+2x-4 \ge 7$, よって$x\ge 11$

・$0 \le x < 4$ のとき、$x + 2x \ge 11$ より $3x \ge 11$, よって $x \ge \frac{11}{3} = 3.666...$

$0 \le x < 4$ と $x \ge \frac{11}{3}$ より $\frac{11}{3} \le x < 4$

選択肢の中では、⑤ $3x-8\ge 7$ に近い。なぜならば、$3x-8\ge 7$, つまり、$3x\ge 15$, よって $x\ge 5$.　従って　この区間では解はない。

・$4 \le x$ のとき、$x + 2x \ge 11$ より $3x \ge 11$, よって $x \ge \frac{11}{3} = 3.666...$

$4 \le x$ と $x \ge \frac{11}{3}$ より $4 \le x$

選択肢の中では、④ $3x+8\ge 7$に近い。なぜならば、$3x+8\ge 7$, つまり、$3x\ge -1$, よって $x\ge -1/3$.　従って　$x\ge 4$

不等式②の解は、

$x < 0$ では解なし。

$0 \le x < 4$ では $\frac{11}{3} \le x < 4$

$4 \le x$ では $4 \le x$

したがって、不等式②の解は $x \ge \frac{11}{3}$ である。

(iii) 2つの不等式①, ②をともに満たす整数 $x$ を求める。

①の解は $2\sqrt{5}-2 < x < 6\sqrt{5}-6$ であり、$2.472 < x < 7.416$

②の解は $x \ge \frac{11}{3}$ であり、$x \ge 3.666...$

よって、2つの不等式をともに満たす $x$ は $3.666... \le x < 7.416$

この範囲の整数は、4, 5, 6, 7 の 4個である。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 2, イ: 5, ウ: 1

エ: 7

(2)

(i) オ: 2, カ: 5, キ: 2, ク: 6, ケ: 5, コ: 6

(ii) サ: ②, シ: ⑤, ス: ④

セ: 11/3, ソ: 11/3

(iii) タ: 4