与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の4つの数列について一般項を求めます。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 8 + 5a_n$ (3) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$ (4) $a_1 = 2, 3a_{n+1} + 2a_n + 15 = 0$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の4つの数列について一般項を求めます。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$

(2) $a_1 = 5, a_{n+1} = 8 + 5a_n$

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$

(4) $a_1 = 2, 3a_{n+1} + 2a_n + 15 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n - 2$

特性方程式 $x = 3x - 2$ を解くと、$2x = 2$ より $x = 1$ 。

よって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ と変形できる。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ 。これは初項 $b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ 、公比 3 の等比数列。

よって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ 。

$a_n = b_n + 1 = 3^{n-1} + 1$ 。

(2) $a_{n+1} = 5a_n + 8$

特性方程式 $x = 5x + 8$ を解くと、 $-4x = 8$ より $x = -2$ 。

よって、$a_{n+1} + 2 = 5(a_n + 2)$ と変形できる。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 5b_n$ 。これは初項 $b_1 = a_1 + 2 = 5 + 2 = 7$ 、公比 5 の等比数列。

よって、$b_n = 7 \cdot 5^{n-1}$ 。

$a_n = b_n - 2 = 7 \cdot 5^{n-1} - 2$ 。

(3) $a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$

特性方程式 $x = \frac{x}{4} + 1$ を解くと、$\frac{3}{4}x = 1$ より $x = \frac{4}{3}$ 。

よって、$a_{n+1} - \frac{4}{3} = \frac{1}{4} (a_n - \frac{4}{3})$ と変形できる。

$b_n = a_n - \frac{4}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{4} b_n$ 。これは初項 $b_1 = a_1 - \frac{4}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$ 、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列。

よって、$b_n = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$ 。

$a_n = b_n + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$ 。

(4) $3a_{n+1} + 2a_n + 15 = 0$ より、$a_{n+1} = -\frac{2}{3}a_n - 5$ 。

特性方程式 $x = -\frac{2}{3} x - 5$ を解くと、$\frac{5}{3} x = -5$ より $x = -3$ 。

よって、$a_{n+1} + 3 = -\frac{2}{3} (a_n + 3)$ と変形できる。

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = -\frac{2}{3} b_n$ 。これは初項 $b_1 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$ 、公比 $-\frac{2}{3}$ の等比数列。

よって、$b_n = 5 \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1}$ 。

$a_n = b_n - 3 = 5 \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1} - 3$ 。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_n = 7 \cdot 5^{n-1} - 2$

(3) $a_n = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$

(4) $a_n = 5 \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1} - 3$