複素数平面上の点 $z$ を, 与えられた複素数で掛けた点が, 点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答える問題です。具体的には, (1) $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$ (2) $(1-i)z$ について, それぞれどのような移動を表すか答えます。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ を, 与えられた複素数で掛けた点が, 点 $z$ をどのように移動させた点であるかを答える問題です。具体的には,

(1) $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z$

(2) $(1-i)z$

について, それぞれどのような移動を表すか答えます。

2. 解き方の手順

複素数の積は, 絶対値の積と偏角の和に対応します。

(1)

$w_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ とおくと,

$|w_1| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\arg(w_1) = \theta_1$ とおくと,

$\cos \theta_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \theta_1 = \frac{1}{2}$ なので, $\theta_1 = \frac{5}{6}\pi$

よって, $w_1 z$ は, 点 $z$ を原点の周りに $\frac{5}{6}\pi$ 回転させた点です。

(2)

$w_2 = 1-i$ とおくと,

$|w_2| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\arg(w_2) = \theta_2$ とおくと,

$\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \theta_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので, $\theta_2 = -\frac{\pi}{4}$

よって, $w_2 z$ は, 点 $z$ を原点の周りに $-\frac{\pi}{4}$ 回転させ, 原点からの距離を $\sqrt{2}$ 倍した点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点の周りに $\frac{5}{6}\pi$ 回転

(2) 原点の周りに $-\frac{\pi}{4}$ 回転させ, 原点からの距離を $\sqrt{2}$ 倍