複素数 $z = 3 - 2i$ を、原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - 2i$ を、原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を原点を中心に $\theta$ 回転させることは、$z$ に $e^{i\theta}$ を掛けることに相当します。 今回は $\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、$e^{i\frac{\pi}{4}}$ を計算します。

オイラーの公式より、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ なので、

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$z = 3 - 2i$ を原点を中心に $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点を表す複素数は

$(3 - 2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 3i(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2i(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2i^2(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\sqrt{2} + \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$