4つの空集合ではない集合 $A, B, C, D$ と、2つの写像 $f: A \rightarrow B, g: C \rightarrow D$ が与えられている。直積集合 $A \times C$ から $B \times D$ への写像 $f \times g: A \times C \rightarrow B \times D$ が、任意の $(a, c) \in A \times C$ に対して $f \times g(a, c) = (f(a), g(c))$ で定義されている。 以下の4つの命題について、正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。 (1) $f$ と $g$ が共に単射ならば、$f \times g$ も単射である。 (2) $f$ と $g$ が共に全射ならば、$f \times g$ も全射である。 (3) $f \times g$ が単射ならば、$f$ と $g$ も共に単射である。 (4) $f \times g$ が全射ならば、$f$ と $g$ も共に全射である。

1. 問題の内容

4つの空集合ではない集合 $A, B, C, D$ と、2つの写像 $f: A \rightarrow B, g: C \rightarrow D$ が与えられている。直積集合 $A \times C$ から $B \times D$ への写像 $f \times g: A \times C \rightarrow B \times D$ が、任意の $(a, c) \in A \times C$ に対して $f \times g(a, c) = (f(a), g(c))$ で定義されている。

以下の4つの命題について、正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げる。

(1) $f$ と $g$ が共に単射ならば、$f \times g$ も単射である。

(2) $f$ と $g$ が共に全射ならば、$f \times g$ も全射である。

(3) $f \times g$ が単射ならば、$f$ と $g$ も共に単射である。

(4) $f \times g$ が全射ならば、$f$ と $g$ も共に全射である。

2. 解き方の手順

(1) $f$ と $g$ が共に単射ならば、$f \times g$ も単射であることの証明。

$f \times g(a_1, c_1) = f \times g(a_2, c_2)$ を仮定する。このとき、$(f(a_1), g(c_1)) = (f(a_2), g(c_2))$ であるから、$f(a_1) = f(a_2)$ かつ $g(c_1) = g(c_2)$ が成り立つ。$f$ と $g$ は共に単射であるから、$a_1 = a_2$ かつ $c_1 = c_2$ が成り立つ。したがって、$(a_1, c_1) = (a_2, c_2)$ である。よって、$f \times g$ は単射である。

(2) $f$ と $g$ が共に全射ならば、$f \times g$ も全射であることの証明。

任意の $(b, d) \in B \times D$ を取る。$f$ は全射であるから、$f(a) = b$ となる $a \in A$ が存在する。同様に、$g$ は全射であるから、$g(c) = d$ となる $c \in C$ が存在する。よって、$f \times g(a, c) = (f(a), g(c)) = (b, d)$ となる $(a, c) \in A \times C$ が存在する。したがって、$f \times g$ は全射である。

(3) $f \times g$ が単射ならば、$f$ と $g$ も共に単射であることの証明。

$f(a_1) = f(a_2)$ を仮定する。$c \in C$ を任意に取る。このとき、$f \times g(a_1, c) = (f(a_1), g(c)) = (f(a_2), g(c)) = f \times g(a_2, c)$ である。$f \times g$ は単射であるから、$(a_1, c) = (a_2, c)$ が成り立つ。したがって、$a_1 = a_2$ である。よって、$f$ は単射である。

同様に、$g(c_1) = g(c_2)$ を仮定する。$a \in A$ を任意に取る。このとき、$f \times g(a, c_1) = (f(a), g(c_1)) = (f(a), g(c_2)) = f \times g(a, c_2)$ である。$f \times g$ は単射であるから、$(a, c_1) = (a, c_2)$ が成り立つ。したがって、$c_1 = c_2$ である。よって、$g$ は単射である。

(4) $f \times g$ が全射ならば、$f$ と $g$ も共に全射であることの証明。

$b \in B$ を任意に取る。$g$ の定義域 $C$ は空でないので、$c \in C$ が存在する。$f \times g$ は全射であるから、$(b, g(c)) \in B \times D$ に対して $f \times g(a, c') = (f(a), g(c')) = (b, g(c))$ となる $(a, c') \in A \times C$ が存在する。したがって、$f(a) = b$ である。よって、$f$ は全射である。

同様に、$d \in D$ を任意に取る。$f$ の定義域 $A$ は空でないので、$a \in A$ が存在する。$f \times g$ は全射であるから、$(f(a), d) \in B \times D$ に対して $f \times g(a', c) = (f(a'), g(c)) = (f(a), d)$ となる $(a', c) \in A \times C$ が存在する。したがって、$g(c) = d$ である。よって、$g$ は全射である。

3. 最終的な答え

(1) 正しい。$f$ と $g$ が共に単射ならば、$f \times g$ も単射である。

(2) 正しい。$f$ と $g$ が共に全射ならば、$f \times g$ も全射である。

(3) 正しい。$f \times g$ が単射ならば、$f$ と $g$ も共に単射である。

(4) 正しい。$f \times g$ が全射ならば、$f$ と $g$ も共に全射である。